1.2 场的性质和描述

1.2.1 场域性质

场是有限空间区域中位置的分布函数，可以表示成位置矢量或三维坐标的解析函数形式。在实际应用中，常常需要了解场在有限区域中的分布状况，以及场与产生它的源的相依关系。对于抽象的场，我们的确能够应用相应的函数形式来精确描述，但直观性不够。为了更加形象地描述场的空间分布状况，可用分布于有限区域界面或界线内的等值面簇或等值线簇来表示标量场，用穿过有限区域界面或界线的矢量线簇来表示矢量场。所谓场的场域性质，是指场在空间有限区域的分布状况。由于限于有限区域，通常采用积分形式来表述，所以场的场域性质又称为积分性质。

1.标量场的等值面

在研究标量场时，引入等值面可以形象、直观地描述场的空间分布状况。在标量场中，使标量函数u（x，y，z）取相同数值的点形成的空间曲面，称为标量场的等值面。对于任意给定常数C，描述曲面的轨迹方程

就是等值面方程。

标量场的等值面具有如下特征：

（1）常数C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因而形成充满标量场u所在空间的等值面簇，如图1.9所示；

（2）由于u（x，y，z）是坐标的单值函数，场中任意一点只能在一个等值面上，标量场的等值面互不相交；

（3）三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退化为等值线（曲线或直线）。

例如，温度场中的等温面，引力场中的等势面，电位场中的等位面及气象图中的等压线和地形图中的等高线等，都是具体应用实例。图1.10表示位于坐标原点，电量为q的点电荷在自由空间任意点（x，y，z）所形成的等位面簇。其电位表达式为

等位面方程x2+y2+z2=C所描述的曲线是一簇以原点为球心的同心球面。图1.11表示地形图中的等高线，曲线的分布状况和疏密程度可以判断山势的高低和坡度变化的缓急。在现实生活中，按这样的思路描述物体的空间形状和位置的实例不胜枚举。例如，在医疗检测仪器中，用于探测脑部瘤肿形状、大小和位置的CT或核磁共振技术，电视气象预报中的卫星云图，影视动画中用电脑绘制二维或三维动画的分格技术等，尽管并不一定包含“等值”这一特性，但其所采用的描述空间形状分布的方式是一致的。

2.矢量场的矢量线

矢量场的空间分布状况，可以引入矢量线簇来描述。这是一种有向曲线，某点场的大小用该点附近矢量线分布的疏密度来表示，场的方向与该点场矢量的切线方向一致。因此，每点场的大小和方向都可能不相同，表明矢量场是位置的函数，可以用一个矢量函数F（r）来表示。在直角坐标系中表示为

图1.12表示矢量线簇的分布，设点P（x，y，z）是场中矢量线上任意一点，其矢径为

r=axx+ayy+azz

则其微分矢量

dr=axdx+aydy+azdz

为曲线在点P的切向矢量。按照矢量线的定义，在点P处dr与F共线，故必有dr∥F。由此可知，矢量线满足微分方程

解此微分方程可得充满整个空间、互不相交的矢量线簇。

例如，流体中速度场的流线，静电场中的电场线，静磁场中的磁场线等，都是矢量线的例子。以图1.10中点电荷q所产生的静电场为例，其电场强度为

由式（1.34）可求得矢量线的微分方程组为

由此解得

这是从点电荷q所在坐标原点处发出的射线束，如图1.13所示。这是起于正电荷，止于负电荷的电力线。

再以直线电流在周围空间产生的静磁场为例，包围电流的磁力线是一簇旋向与电流流向呈右旋关系的闭合线，如图1.14所示。可见电荷源和电流源是两类不同性质的源，它们产生的场也具有不同的性质。

在有限空间中，如何利用矢量线簇来描述矢量场的分布状况呢？我们可以设想，有一簇矢量线以任意方向穿过有限区域的界面或界线，一般情况下，总可以将穿过界面或界线上的场分解为法向分量和切向分量。根据前面所述例子可知，有两类不同的源，分别产生不同的场，如果将任意方向矢量线所表示的场的法向分量和切向分量，理解为分别由这两类场源所产生的不同性质的场，那么，任意取向的场就可看做这两种场的合成值。由此得到一个启示：研究有限空间中矢量场的场域性质，应当同时考查两类源（如上例中的电荷源和电流源）所产生的场分别穿过包围两类源的闭合曲面法向方向的通量和闭合曲线切向方向的环量。只有同时从这两个侧面来研究矢量场的场域特性，才能完备地描述矢量场在有限区域的分布状况。

3.矢量场的通量和环量

如图1.15所示，设S为空间有向曲面，dS为其上的有向曲面元，取一个与此曲面元相垂直的单位矢量an，则矢量dS=andS称为有向曲面元的数学表达式。有向曲面S是指其大小为S，方向沿曲面的垂直方向an的曲面。对于未闭合的曲面，曲面an的指向与其周界线走向呈右旋关系；对于闭合的曲面，曲面an指向其外法向。

矢量场F穿过有向曲面元dS的通量定义为

将曲面S上各面元dS相叠加。对于开曲面S，通量为

显然，ψ的大小和正负取值由F与an的取向确定。对于闭曲面S，如图1.16所示，通量为

由式（1.35）可知，矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量，它描述了矢量场通过有向曲面的数量，所以用点乘表示为标量。由图1.16中可以看出：当θ＜π/2时，表示F线穿出dS，dψ取正值；当θ＞π/2时，表示F线穿入dS，dψ取负值。对整个闭曲面积分，则通量ψ表示穿过曲面S的所有±dψ的代数和，称为净通量。讨论如下三种情况：

（1）当ψ＞0时，表示穿出闭曲面S的通量线多于穿入的通量线，闭曲面S内必有发出通量线的正通量源。例如，静电场中的正电荷发出的电力线就是正通量源；

（2）当ψ＜0时，表示穿出闭曲面S的通量线少于穿入的通量线，闭曲面S内必有汇聚通量线的负通量源。例如，静电场中的负电荷汇聚的电力线就是负通量源；

（3）当ψ=0时，表示穿出和穿入闭曲面S的通量线相等，闭曲面S内无通量源。

可以看出，在有限空间区域内，穿过闭曲面的通量必定与闭曲面内产生矢量场的源存在着相依关系。例如，物理学的高斯定理公式，它表示真空中的电场强度穿过任一闭曲面的通量等于该闭曲面包围的电荷量与真空介电常数之比。

如图1.17所示，设l为空间有向曲线，dl=atdl为其上的有向曲线元，其大小为dl，方向沿l的切线方向at。取F与dl的点积dΓ=F·dl，并沿l积分。对于开曲线和闭曲线，可分别定义矢量场沿有向曲线的环量为

由式（1.36）可知，矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量，它描述了矢量场沿有向曲线的数量，所以用点乘表示为标量。显然，Γ的取值由F与dl的取向确定。当θ=0时，F与dl取向相同，dΓ＞0；当θ=π时，F与dl取向相反，dΓ＜0。对整个闭曲线积分，则环量Γ表示在曲面S上沿其所有周线l的±dΓ的代数和，称为净环量。显然，如果矢量场的环量不等于零，场中必定存在产生该矢量场的源。但这种源与通量源不同之处是它不发出或汇聚矢量线，其所产生矢量场的矢量线是闭合曲线，称为旋涡源。

可以看出，在有限空间区域内，沿闭曲线的环量必定与穿过闭曲线产生矢量场的源存在着相依关系。例如，物理学的安培环路定理公式∮lB ·dl=μ0I，它表示真空中的磁感应强度沿任一闭曲线的环量等于该曲线包围的电流量与真空介磁常数的乘积。