1.7 雅趣守形数
本节探讨守形数，其特性表现在其平方数的尾部。
定义：若正整数n是它平方数的尾部，则称n为守形数，又称同构数。
例如，6是其平方数36的尾部，25是其平方数625的尾部，6与25都是守形数。
首先利用守形数的特性简单求解3位守形数，在此基础上编程拓展求指定区间内的守形数，并进一步探求多位守形数。
1.7.1 探索区间守形数
先求解一个简单的守形数问题。
【问题】 共有多少个3位守形数？
【思考】 从个位开始向高位逐位探求。
（1）除了5与6外，1能否构成守形数的尾部？
回答是否定的。事实上，12＝1，1是1的平方，而不是其平方数的尾部。
设2位整数a＝10k＋1（即a的十位数字是k＞0），只要证a2的十位数字不为k即可。
a2＝（10k＋1）2＝10（10k2＋2k）＋1
可见，a2的十位数字是2k的个位数字，无论k＞0为何数字，2k的个位数字都不可能为数字k。
（2）任意n位守形数必为n-1位守形数。
要求3位守形数，可先求出所有2位守形数。
①设a＝10k＋5为个位数字为5，十位数字为k（k＞0）的2位整数，则
a2＝（10k＋5）2＝100（k2＋k）＋25
显然a2的最低2位为25，其十位数字为2。
即要使a为守形数，只有k＝2，即a＝25这一个解。
②设a＝10k＋6为个位数字为6，十位数字为k（k＞0）的2位整数，则
a2＝（10k＋6）2＝100（k2＋k）＋10（2k＋3）＋6
显然a2的十位数字为（2k＋3）的个位数字，即（2k＋3）%10。
由（2k＋3）%10＝k，推得有k＝7，即a＝76这一个解。
（3）在2位守形数基础上配置首位。
①设a＝100k＋25，即低2位为守形数25，百位数字为k（k＞0）的3位整数，则
a2＝（100k＋25）2＝1000（10k2＋5k）＋625
显然a2的最低3位为625，其百位数字为6。
即a为个位数字是5的3位守形数，百位数字k＝6，即a＝625这一个解。
②设a＝100k＋76为低2位为守形数76，百位数字为k（k＞0）的3位整数，则
a2＝（100k＋76）2＝1000（10k2＋15k＋5）＋100（2k＋7）＋76
显然a2的百位数字为（2k＋7）的个位数字，即（2k＋7）%10。
由（2k＋7）%10＝k，推得有k＝3，即a＝376这一个解。
（4）综合以上可知共两个3位守形数：
3762＝141 376
6252＝390 625
依此可求出4位、5位守形数。
【拓展】 试探求指定区间[x，y]内所有守形数。
（1）设计要点。
为了扩大探求范围，变量类型设置为double型。
对指定范围[x，y]内的每一个整数a（约定a＞1），求出其平方数s；计算a的位数k，同时计算b＝10^k，a的平方s的尾部c＝fmod（s，b）；比较整数a与其平方数的尾部c，若a＝c则输出守形数。
（2）程序设计。
（3）程序运行示例与说明。
以上结果可见，没有5结尾的4位守形数，也没有6结尾的5位守形数，实际上是因为其最高位为0而没有显示。
由输出的第2个解与第4个解比较可知，0625即为5结尾的4位守形数，因其高位为0，自然不输出。
同样，由输出的第3个解与第5个解比较可知，09376即为6结尾的5位守形数，因其高位为0而没有输出。
1.7.2 展现多位守形数
以上设计搜索到2个3位守形数、1个4位守形数、1个5位守形数、2个6位守形数。守形数的个位数字为5或6。
试探索一般n位守形数。
1. 设计要点
为了求更多位数的守形数，可应用守形数的性质：
一个m位守形数的尾部k（1≤k≤m-1）位数也是一个高位可能为0的守形数。
事实上，a是一个m位数，a的平方数的尾部k位仅由a的尾部k位决定，而与a的其他位无关。
实施易知一位守形数有5，6，则二位守形数的个位数字只可能是5，6这两个数字。根据这一思路，我们可应用递推求解。
设置数组a[k]存储守形数的第k位：守形数的个位数字a[1]选取d（5~6），a[k]（k＞1）选取j（0~9）。同时，设置b数组存储计算平方的中间值，设置c数组存储计算守形数的平方值，应用“竖式乘模拟”计算平方数。
通过比较若有a[i]＝c[i]（i＝1，2，…，k）成立，则k位守形数确立，继续递推下一位，直至n位确定并打印输出。
2. 程序设计
3. 程序运行示例与变通
注意到以上结果中“5结尾的守形数”中没有4位守形数，“6结尾的守形数”中没有5，12，13与20位守形数，只是其最高位为0而已（由其高一位结果可看出）。
变通：试把守形数的尾数从5，6扩展到0~9，即改变尾数d循环，由for（d＝5；d＜＝6；d＋＋）变为for（d＝0；d＜＝9；d＋＋）。变通后运行程序，可知除5，6结尾外，其他数字结尾没有守形数。