1.1 水仙花与兰德尔数
兰德尔（Randle）数又称自方幂数，是一类涉及自身数字特点的整数。
本节从探求最简单的3位水仙花数开始，进而编程探索一般n（3~8）位兰德尔数。
1.1.1 水仙花数
一个3位整数如果等于它的3个数字的立方和，那么该3位数称为水仙花数。
【问题】 有多少个水仙花数？试探求水仙花数。
【思考】 从最小数字开始，逐个数字实验探求。
设水仙花数为abc（a为百位数字，b为十位数字，c为个位数字），满足
100a＋10b＋c＝a3＋b3＋c3 （a，b，c为整数，1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）
这是一个3元3次不定方程，因涉及3个立方项，简单处理并不现实，拟采用逐位实验探求。
由水仙花数的定义可知，它的3个数字中至少有一个数字在5以上，否则其3个数字的立方和不足3位。
先列出一个数字x的立方x3（见表1-1）以备调用。
表1-1 一个数字x的立方
1. 试取最小数字为0
由表1-1可知，第2个数字的立方不含数字0，即第2个数字必须大于0。
（1）第2个数试取1，第3个数字为x，x3＋1的结果中须含数字0，1与x，显然x不存在。
（2）第2个数试取2，23＝8，第3个数字为x，x3＋8的结果中须含数字0，2与x。试取x＝8，512＋8＝620，含数字0，2，但不含数字8，也不符合要求。
（3）第2个数试取3，33＝27，第3个数字为x，x3＋27的结果中须含数字0，3与x。试取x＝7，343＋27＝370，含有数字0，3与7，因而得到第1个解370。继续第3个数字取x＝8，9，不满足要求。
（4）第2个数试取4，43＝64，第3个数字为x，x3＋64的结果中须含数字0，4与x。试取x＝7，343＋64＝407，含数字0，4与7，因而得到第2个解407。继续第3个数字x＝8，9，不满足要求。
（5）第2个数试取5，6，…，无满足要求的3位整数。
2. 试取最小数字为1
由表1-1可知，第2个数字必须大于1。
（1）第2个数试取2，23＝8，选第3个数字为x，x3＋9的结果中须含数字1，2与x。试取x＝8，512＋9＝521，含数字1，2，但不含数字8，不符合要求。
（2）第2个数试取3，33＝27，第3个数字为x，x3＋28的结果中须含数字1，3与x。试取x＝5，125＋28＝153，含数字1，3与5，因而得到第3个解153。继续试取x＝6，216＋28＝244，不符合要求。继续试取x＝7，343＋28＝371，含数字1，3与7，因而得到第4个解371。
（3）第2个数试取4，5，6，…，无满足要求的3位整数。
以此类推，试验最小数字为2，3，…，无满足要求的3位数。
综合以上实验探求，得到4个水仙花数：370，407，153，371。
以上探求水仙花数的方法就是数学实验，由小到大选择各数字逐位试验、调整，探求满足不定方程的解。
顺便指出，数学实验是一种非常重要的数学方法，可培养与加强探索能力的提升。
1.1.2 兰德尔数
兰德尔数：一个n（n≥3）位正整数如果等于它的n个数字的n次幂之和，那么该数称为n位兰德尔数，又称自方幂数。
当n＝3时称为水仙花数，当n＝4时称为四叶玫瑰花数，当n＝5时称为五角星数，当n＝6时称为六合数，当n＝7时称为北斗七星数，当n＝8时称为八仙数，等等。
试编程搜索n（3≤n≤8）位兰德尔数。
1. 探求设计要点
为求n次幂方便，相关变量设置为double型。
（1）循环枚举与分离数字。
建立n（3~8）循环枚举位数。
计算最小的n位整数t后，建立y（t＋1~10∗t-1）循环枚举n位整数。
应用求余函数fmod（y，10）与取整函数floor（y/10）分离整数y的n个数字k。
（2）求和与检测。
数字k的n次幂即为pow（k，n）；通过s＋＝pow（k，n）；求得n个数字的n次幂之和s。
通过y＝＝s即可检测y是否为n位兰德尔数。
通过检测后即可输出n位兰德尔数，并用变量m统计其个数。
2. 兰德尔数程序设计
3. 程序运行示例与变通
前面应用逐位试验的数学实验探求3位水仙花数并不简捷，当n≥4时，因涉及构成数字的n次方，用同样的推理探求n位兰德尔数并不现实。
以上程序快捷地求出了6种兰德尔数，说明了编程探索与拓展的优越性，进一步说明在趣味数学发展与深入的进程中，程序设计手段不可或缺。
变通：可把以上枚举循环语句for（n＝3；n＜＝8，n＋＋）改变为从键盘输入整数n语句，即可探求某一个n（n≥9）位正整数的n位兰德尔数。
当n≥9时，程序搜索n位兰德尔数的时间随n的增加变得越来越长。