第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵

［课前导读］

我们知道，在实数的运算中有逆的概念，即如果ab=ba=1，则有b=a-1和a=b-1．本节我们也在矩阵的运算中引入类似的概念，即方阵的逆，并给出逆矩阵的性质和求法．在学习本节前，需要读者熟悉矩阵的初等变换．

一、方阵的逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

定义1　设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得

其中，E为n阶单位方阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为A的逆矩阵；否则称A是不可逆的．

如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵一定是唯一的．这是因为，若矩阵B、C都满足

AB=BA=E，AC=CA=E，

由于矩阵乘法满足结合律，于是

C=CE=C（AB）=（CA）B=EB=B．

所以A的逆矩阵一定是唯一的．A的逆矩阵记为A-1．

2. 逆矩阵的性质

（1）若A可逆，则A-1也可逆，并且（A-1）-1=A；

（2）若矩阵A1，A2，…，As都可逆，则它们的乘积A1A2…As也可逆，并且

（3）若A可逆，则AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T；

（4）若A可逆并且数k≠0，则kA也可逆，并且（kA）-1=k-1A-1．

证明　我们用逆矩阵的定义验证性质（3），其余性质留给读者自己验证．

由A可逆推出A-1存在，且AA-1=A-1A=E，于是有（AA-1）T=（A-1A）T=ET．由矩阵转置的运算规律得

（A-1）TAT=AT（A-1）T=E．

所以（AT）-1=（A-1）T．

例1　若矩阵A有全零行（全零列），那么矩阵A一定不可逆．

证明　假设矩阵A的第i行是全零行，则对任何一个矩阵B，矩阵AB的第i行总是全为零，从而不存在矩阵B使得AB=BA=E，所以矩阵A不可逆．类似可证，若矩阵A有全零列，那么矩阵A一定不可逆．

例2　设Ak=O（k为正整数），证明：（E-A）-1=E+A+A2+…+Ak-1．

证明　因为Ak=O，于是

所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2+…+Ak-1．

下面我们介绍几类最基本的可逆矩阵．

二、初等矩阵

定义2　对n阶单位矩阵E实施一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵．

由于初等变换有三种，对n阶单位矩阵E实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类．

（1）交换单位阵E的第i行和第j行，或交换E的第i列和第j列，得到的初等矩阵记为E（i，j），即

（2）用非零的数k乘单位阵E的第i行或第i列得到的初等矩阵记为E（i（k）），即

（3）将单位阵E的第i行乘以k加到第j行（或将单位阵E的第j列乘以k加到第i列）得到的矩阵记为E（i（k），j），即

关于初等变换与初等矩阵的关系，我们有下面的结论．

命题1　初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵，即

证明　直接计算得：

所以

命题2　设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．

证明　只需理解初等变换的意义，然后用矩阵乘法直接验证即可，具体验证留给读者．

例3　设A=（aij）是一个3阶方阵，试求一个3阶可逆矩阵P，使得

解　矩阵PA可看成是先交换矩阵A的第2行和第3行得到矩阵B，再将矩阵B的第1行乘以数k加到第2行得到的．根据命题2，这相当于先后用初等矩阵E（2，3）=左乘矩阵A，即

PA=E（1（k），2）E（2，3）A，

所以

另外，矩阵PA也可看成是先将矩阵A的第1行乘以数k加到第3行得到矩阵B，再交换矩阵B的第2行和第3行得到的，即

PA=E（2，3）E（1（k），3）A，

所以

三、初等矩阵与逆矩阵的应用

首先，我们利用初等矩阵和初等变换给出一个方阵可逆的判别条件．

定理1　下面命题互相等价：

（1）n阶方阵A可逆；

（2）方阵A行等价于n阶单位矩阵E；

（3）方阵A可表示为一些初等方阵的乘积．

证明　为了证明的方便，我们采取（1）⇒（2）⇒（3）⇒（1）的方式来证明．

（1）⇒（2）：由本章第三节的定理可知，方阵A经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵R．再由命题2可知，这相当于存在若干个初等矩阵P1，P2，…，Ps，使得Ps…P2P1A=R．由于初等矩阵都可逆，若A可逆，则根据逆矩阵的性质知Ps…P2P1A=R可逆，从而行最简形矩阵R没有全零行，这迫使R=E，即Ps…P2P1A=E，所以方阵A行等价于n阶单位矩阵E．

（2）⇒（3）：若方阵A行等价于n阶单位矩阵E，则存在若干个初等矩阵P1，P2，…，Ps，使得Ps…P2P1A=E．由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵，记P1，P2，…，Ps的逆矩阵分别为于是

即也就是说，A可表示为初等方阵的乘积．

（3）⇒（1）：设方阵A=P1P2…Ps，其中P1，P2，…，Ps均为初等矩阵，由于初等矩阵均可逆，于是它们的乘积A=P1P2…Ps也可逆．

由定理1的证明可知，若n阶方阵A可逆，则存在一个可逆阵P=Ps…P2P1，使得PA=E，于是

构造一个分块矩阵（A|E），做分块矩阵的乘法：

P（A|E）=（PA|PE）=（E|P）=（E|A-1）．

上式等价于对分块矩阵（A|E）实施了若干次初等行变换，当A变成E时，E就变成了A-1．所以，定理1给出了判别矩阵A是否可逆，并在可逆时求A-1的一种方法：

（1）首先构造分块矩阵（A|E）；

（2）对矩阵（A|E）实施初等行变换，将（A|E）化为行最简形矩阵；

（3）如果A不能行等价于E，则矩阵A不可逆；若A能行等价于E，则A可逆，且E就行等价于A-1．

例4　判断下列矩阵是否可逆，若可逆则求其逆矩阵．

由于阶梯阵最后一行全为零，所以矩阵不可逆．

所以矩阵可逆，并且

利用逆矩阵还可以求解矩阵方程AX=B、XA=B和AXB=C．

若矩阵A可逆，则有

若矩阵A、B可逆均可逆，则有

值得注意的是，由于矩阵乘法不满足交换律，在解矩阵方程时必须分清楚逆矩阵是“左乘”还是“右乘”．

解矩阵方程也可以用初等行变换的方法．对于方程AX=B，构造分块矩阵（A|B），并对（A|B）实施初等行变换化为行最简形矩阵．如果A变为E，则说明A可逆，这时B就变成了X=A-1B．

例5　解下列矩阵方程：

所以

（2）对于方程XA=B，可以先用初等行变换求解方程ATXT=BT，再转置求出X．

所以从而

（3）此题是AXB=C类型的方程．令XB=Y，先用初等行变换求解方程AY=C，然后用初等行变换求解方程BTXT=YT，最后转置求出X．由于

于是得再由

可知从而

根据第三节定理，任何一个m×n矩阵A通过若干次初等行变换都可化为行最简形矩阵；再通过若干次初等列变换，可以把该行最简形矩阵化为标准形用初等矩阵的语言，上述结论可以重新叙述为定理2.

定理2　对于任意m×n矩阵A，均存在一个m阶可逆方阵P和一个n可逆方阵Q，使得PAQ为标准形．

习题1-4

1. 设A是3阶方阵，交换A的第1列和第3列得到矩阵B，再把B的第1列乘以非零数k加到B的第2列得到矩阵C，求满足AQ=C的可逆方阵Q．

2. 设

（1）求P-1；（2）计算P-1AP；（3）计算A10．

3. 求下列矩阵的逆矩阵：

4. 解下列矩阵方程：