§1.5　无穷小量与无穷大量

1.5.1　无穷小量

1.无穷小量的定义

观察下列极限的特点：

给出如下定义：

定义1　如果，那么函数f（x）称为在x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小.

发现：（1）无穷小定义也适用于当x→ ，x→ ，x→-∞，x→+∞时.

（2）一般地，无穷小要指明其自变量的变化趋势.例如，当x =0，所以函数x-2是当x→2时的无穷小，而当x→3时 ，所以x-2不是x→3时的无穷小.

（3）不要把无穷小与很小的数混为一谈，无穷小是一个过程，一个变量；一般说来，无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大小.故绝对值很小的常数及负无穷大都不是无穷小，而零是常数中唯一的无穷小量.

2.无穷小与函数极限的关系

定理1　

的充分必要条件是f（x）=A+α（x）且.

证明　仅就x→x0的情形来证，其他情形同理.

必要性　设，则.令α（x）=f（x）-A，即当x→x0时，α（x）=f（x）-A是无穷小，则f（x）=A+α.

充分性　设f（x）=A+α，其中α（x）是x→x0时的无穷小，则

3.无穷小的性质

（1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.

（2）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

推论常数与无穷小的乘积仍是无穷小.

（3）有限个无穷小量乘积仍是无穷小.

例1　求下列极限.

解　（1）由于不存在，所以不能利用极限运算法则求此极限，但因为，且，即为有界函数，则由性质（2），推得

（2）当x→∞时，，，都是无穷小，所以由性质（1）推得

例2　求极限

发现：无穷多个无穷小的和不一定是无穷小.