2.4.1　隐函数的求导法则

1.隐函数求导法

一般地，如果变量x，y之间的函数关系由方程F（x，y）=0所确定，那么这种函数就叫作由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化.如由方程x+y3-1=0解出.但有些隐函数显化很困难，甚至无法显化为初等函数，如x+y-exy=0，那么这样的函数怎样求导呢？

方法就是：方程两边同时对x求导，且y是x的函数；遇到含y的函数，要按复合函数求导法则进行求导.

例如，（siny）'=cosy·y'，特殊地，当y=x时，（sinx）'=cosx·（x）'=cosx.

下面通过几个具体的例子来说明这个方法.

例1　求由方程y6-3x2+6x3y2=0所确定的隐函数y=y（x）的导数y'.

解　方程两边同时对x求导，可得

6y5·y'-6x+6（3x2·y2+x3·2y·y'）=0，

由上式解出y'，便得隐函数的导数为

例2求由方程x+y-exy=0所确定的隐函数y=y（x）的导数y'x，并求y'x（0）.

解　方程两边同时对x求导，可得

1+y'-exy·（xy）'=0，

即

1+y'-exy·（y+xy'）=0，

由上式解出y'，便得隐函数的导数为

当x=0时，代入x+y-exy=0，得y=1，代入y'，得

y'x（0）=0.

例3　求椭圆在点M处的切线方程.

解　椭圆方程两边同时对x求导，可得

由上式解出y'，便得隐函数的导数为

所以椭圆在点M 处的切线方程为

2.取对数求导法

根据隐函数的求导方法，还可以得到一个简化求导运算的方法，即取对数求导法.它适合于由几个因式通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指型函数y=u（x）v（x））的求导.这个方法是先取对数，再化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数的求导方法求导.

例4　求下列函数的导数.

（1）；（2）y=xsinx（x>0，x≠1）.

解　（1）先在等式两边取绝对值，再取对数，得

两边同时对x求导，得

所以

（2）这是幂指型函数，对y=xsinx两边取对数，得

lny=sinxlnx，

两边同时对x求导，得

所以