第3章 映射与实函数
一、选择题
1．有下列几个命题
（1）任何周期函数一定存在最小正周期．
（2）[x]是周期函数．
（3）
不是周期函数．
（4）xcosx不是周期函数．
其中正确的命题有（ ）。[复旦大学研]
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】（1）错．比如f（x）＝0．那么任何正实数都是它的周期，而无最小正实数．
（2）错．设
的周期为T＞0，并设
当m＝0时，则T＝1－a，其中0＜a＜1．那么
这与T为周期矛盾．∴m ≠0．
当m＞0时． 
，也矛盾
∴[x]不是周期函数．
（3）对．∵若f（x）是定义域D上周期函数，那么存在函数T，使
都有
．这必须有
．而本题定义域
，若是周期函数，则0∈D，必须
，但
故不是周期函数．
（4）对．用反证法，设
的周期为T＞0，则
即证xcosx不是周期函数．
二、解答题
1．设f（x）在[a，b]上是连续函数，且f（x）在[a，b]内没有极值点，则f（x）是[a，b]上严格单调函数。[中南大学研]
证明：对任意的
，必有
。若
，则在
内有极值点，矛盾。不妨设f（a）＜f（b），则对任意的
，有
。若
，由f（x）在
内没有极值点知
，从而f（x）在[a，b]内有极小值点，矛盾。
2．设a>0，f（x）在[a，b]上是连续的偶函数，则
．[中科院数学研究所2006研]
证明：令x＝－t，则
所以有
再由f（x）的性质，可以得到结论。
3．设
．并设次数不超过n－1次的代数多项式
，满足条件：
试证：
．[中国科学院研]
证明：由假设①式，可令
其中
或
其中
（1）当
时，由③式知
上为增函数，∴当
时
（2）当
时，由③式知
上是减函数，
时有
4．设函数f（x）定义在区间I上，如果对于任何
，及
）．恒有
证明：在区间x的任何闭子区间上f（x）有界．[华中师范大学研]
证明：
，则存在
．使
由①式有
其中
，那么
由①，②两式可知
，再由M的定义，可知
若令
此即证f（x）在
上有界．
5．设f（x）在[a,b]上连续，对任意的x∈[a，b]，定义
，证明：m（x）在[a，b]上连续。[大连理工大学研]
证明：对任意的
由下确界的定义（上题），可得必存在
使得
于是当
时，必有
所以
则m（x）在[a，b]上连续。
6．设f（x）连续，
，证明：
[南京航空航天大学研]
证明：令g（x）＝u，因为
，所以对任意的δ1，存在δ，当0＜|x－a|＜δ时，有
又因为f（x）连续，对任意的ε，存在
，当
时，有
即对任意的ε，存在δ，当
0＜|x－a|＜δ时，有|f（g（x））－f（c）|＜ε。
7．设
（其中a，b，c是整数）是奇函数，且在[1，＋∞）上单调递增，
（1）求a，b，c的值；
（2）证明：f（x）在（0，1）上单调递减．[四川大学研]
解：（1）由于f（x）是奇函数，∴c＝0．再由f（1）＝2，可得
又因f（x）在[1，＋∞）上单调递增，且f（1）＝2．
再将①代入②可得
因为b是整数，
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
8．是否存在这样的函数，它在区间[0，1]上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界．[上海师范大学研]
解：存在，比如
，存在有理数列
，对任意正数M而使
∴f（x）在x0的邻域内无界