第3部分　考试大纲详解

一、导数和微分

（1）导数的定义

设函数y＝f（x）在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量．当Δx→0时，如果Δy与Δx之比的极限存在，则称函数y＝f（x）在点x₀处可导，并称这个极限为函数y＝f（x）在点x₀处的导数，记为，即

又记作

（2）微分的定义

设函数y＝f（x）在某区间内有定义，在这区间内，如果函数的增量

可表示为

其中A是不依赖于Δx的常数，则称函数在点是可微的，而AΔx称为函数在点相应于自变量增量Δx的微分，记作，即

（3）导数的几何意义

函数y＝f（x）在点x₀处的导数f'（x₀）在几何上表示曲线y＝f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线的斜率，即，其中α是切线的倾角．

（4）平面曲线的切线方程和法线方程

①切线方程

曲线y＝f（x）在点M（x₀，y₀）处的切线方程为

②法线方程

如果，法线方程为．

（5）导数的物理意义

①路程；

②速度；

③加速度．

（6）连续、可导、可微的关系

图2－1

（7）导数和微分的四则运算法则

表2－1

（8）复合函数的求导法则

如果u＝g（x）在点x可导，而y＝f（u）在点u＝g（x）可导，则复合函数y＝f［g（x）]在点x可导，且其导数为

（9）基本初等函数的导数公式、微分公式

表2－2

（11）一阶微分形式的不变性 　 设都可导，则复合函数的微分为

二、高阶导数

1．二阶导数

函数y＝f（x）的导数仍然是x的函数．则把的导数称为函数y＝f（x）的二阶导数，记作，即．

2.n阶导数

二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，一般地，（n－1）阶导数的导数称为n阶导数，分别记作

或

3．简单函数的n阶导数

（1）指数函数的n阶导数

（2）正弦函数的n阶导数

（3）余弦函数的n阶导数

（4）的n阶导数

（5）幂函数的n阶导数（是任意常数）

特别：

三、特殊函数的导数

1．分段函数的导数

（1）对于不是分界点的区间，直接利用求导法则和公式进行求导；

（2）判断分界点x₀处的可导性：

①若函数在x₀点不连续，则它在x₀点不可导；

②若函数在x₀点连续，且在x₀的邻域内（x₀除外）可导，则

a．当存在时，设其为A，函数f（x）在x₀点可导，且；

b．当不存在时，要用定义判断；

c．当与都存在，但不相等时，函数f（x）在x₀点不可导．

2．隐函数的导数

设y＝y（x）是由方程F（x，y）＝0所确定的可导函数，为求得，可在方程F（x，y）＝0两边对x求导，可得到一个含有的方程，从中解出即可．

3．由参数方程所确定的函数的导数

参数方程

（1）一阶导数 

其中，φ（t）和ψ（t）都可导，且．

（2）二阶导数 

　 

其中，φ（t）和ψ（t）二阶可导，且．

4．反函数的导数

如果函数x＝f（y）在区间I_y内单调、可导，且，则它的反函数在区间内也可导，且

四、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数f（x）满足：

（1）在 [a，b]上连续；

（2）在（a，b）内可导；

（3），

则在（a，b）内至少有一点使得

2．拉格朗日中值定理

如果函数f（x）满足：

（1）在 [a，b]上连续；

（2）在（a，b）内可导，

则在（a，b）内至少有一点，有

3．柯西中值定理

如果函数f（x）及F（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）对任意；

（4）F（b）≠F（a），

则在（a，b）内至少有一点，有

4．泰勒定理

如果函数f（x）在x₀处具有n阶导数，则存在x₀的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有

其中

五、函数的极值、最大值和最小值

1．函数的极值及其求法

（1）极大值

设函数f（x）在点x₀的某邻域U（x₀）内有定义，如果对于去心邻域内的任一x，有，则称f（x₀）是函数f（x）的一个极大值．

（2）极小值

设函数f（x）在点x₀的某邻域U（x₀）内有定义，如果对于去心邻域内的任一x，有，则称f（x₀）是函数f（x）的一个极小值．

2．求f（x）的极值点和极值的步骤

若函数f（x）在所讨论的区间内连续，且除个别点外处处可导，则：

（1）求出导数；

（2）求出f（x）的全部驻点与不可导点；

（3）考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

（4）求出各极值点的函数值，就得函数f（x）的全部极值．

3．函数单调性的判定方法

设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则：

（1）如果在（a，b）内，且等号仅在有限多个点处成立，则y＝f（x）在[a，b]上单调增加；

（2）如果在（a，b）内，且等号仅在有限多个点处成立，则y＝f（x）在[a，b]上单调减少．

４．最大值和最小值的求法

若f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则：

（1）求出f（x）在（a，b）内的驻点及不可导点；

（2）计算f（x）在上述驻点、不可导点处的函数值及f（a），f（b）；

（3）比较步骤（2）中各值的大小，其中最大的便是f（x）在[a，b]上的最大值，最小的便是f（x）在[a，b]上的最小值．

六、凹凸性、拐点、渐近线

1．凹凸性的判定定理

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，则：

（1）若在（a，b）内，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的；

（2）若在（a，b）内，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的．

2．拐点

（1）定义

设y＝f（x）在区间I上连续，x₀是I内的点．如果曲线y＝f（x）在经过点（x₀，f（x₀））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（x₀，f（x₀））为这曲线的拐点．

（2）求函数的拐点

①求；

②令，解出方程在区间I内的实根，并求出在区间I内不存在的点；

③对于②中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x₀，检查在x₀左、右两侧邻近的符号，则当两侧的符号相反时，点（x₀，f（x₀））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x₀，f（x₀））不是拐点．

3．渐近线

设曲线y＝f（x）：

（1）斜渐近线y＝kx＋b

特别地，当k＝0时，曲线有水平渐近线y＝b．

（2）垂直渐近线

若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．

4．函数图形的描绘步骤

（1）确定函数y＝f（x）的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数；

（2）求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数f（x）的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；

（3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；

（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；

（5）算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y＝f（x）的图形．

七、洛必达法则

1．未定式

如果当（或）时，函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大，则极限可能存在、也可能不存在．通常称这种极限为未定式，并分别简记为或．

2．洛必达法则

（1）时，的洛必达法则

①当时，函数f（x）及F（x）都趋于零；

②在点a的某去心邻域内，都存在且；

③存在（或为无穷大），则

（2）时，的洛必达法则

①当时，函数f（x）及F（x）都趋于零；

②当时，都存在，且；

③存在（或为无穷大），则

注：对于或时的未定式，也有相应的洛必达法则．

（3）使用洛必达法则的注意事项

①如果不是未定式，则不能应用洛必达法则．

②其他还有一些0·∞、∞－∞、0⁰、1^∞、∞⁰型的未定式，也可通过或型的未定式来计算．

③洛必达法则可以和其他求极限方法结合使用，可以应用等价无穷小或重要极限．

a．常用的等价无穷小

b．重要极限

八、曲率和曲率半径

1．曲率及其计算公式

（1）平均曲率

设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M₀作为度量弧s的基点．设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为α，曲线上另外一点对应于弧在点处切线的倾角为，则弧段的长度为．当动点从M移动到时切线转过的角度为，则平均曲率．

（2）曲率

①曲率

平均曲率的极限又称曲线C在点M处的曲率，记作K，即

在存在的条件下，K可表示为

②直角坐标方程的曲率公式

③参数方程

的曲率公式

2．曲率圆与曲率半径

（1）曲率圆

设曲线y＝f（x）在点M（x，y）处的曲率为K（K≠0）．在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使．以D为圆心，为半径作圆（图2－2），这个圆称为曲线在点M处的曲率圆．

图2－2

（2）曲率半径

曲率圆的半径称为曲线在点M处的曲率半径．

（3）曲率K和曲率半径的关系