第二章 过程特性及其数学模型
第一节 化工过程的特点及其描述方法
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。系统的控制质量与组成系统的每一个环节的特性都有密切的关系，特别是被控对象的特性对控制质量的影响很大。本章着重研究被控对象的特性，而所采用的研究方法对研究其他环节的特性也是同样适用的。
在化工自动化中，常见的对象有各类换热器、精馏塔、流体输送设备和化学反应器等。此外，在一些辅助系统中，气源、热源及动力设备（如空压机、辅助锅炉、电动机等）也可能是需要控制的对象。本章着重研究连续生产过程中各种对象的特性，因此有时也称研究过程的特性。
各种对象千差万别，有的操作很稳定，操作很容易；有的对象则不然，只要稍不小心就会超越正常工艺条件，甚至造成事故。有经验的操作人员，他们往往很熟悉这些对象，只有充分了解和熟悉这些对象，才能使生产操作得心应手，获得高产、优质、低消耗。同样，在自动控制系统中，当采用一些自动化装置来模拟人工操作时，首先也必须深入了解对象的特性，了解它的内在规律，才能根据工艺对控制质量的要求，设计合理的控制系统，选择合适的被控变量和操纵变量，选用合适的测量元件及控制器。在控制系统投入运行时，也要根据对象特性选择合适的控制器参数（也称控制器参数的工程整定），使系统正常地运行。特别是一些比较复杂的控制方案设计，例如前馈控制、计算机最优控制等更离不开对象特性的研究。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称为对象的数学模型。在建立对象数学模型（建模）时，一般将被控变量看作对象的输出量，也叫输出变量，而将干扰作用和控制作用看作对象的输入量，也叫输入变量。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素，如图2-1所示。由对象的输入变量至输出变量的信号联系称之为通道。控制作用至被控变量的信号联系称控制通道；干扰作用至被控变量的信号联系称干扰通道。在研究对象特性时，应预先指明对象的输入量是什么，输出量是什么，因为对于同一个对象，不同通道的特性可能是不同的。
图2-1 对象的输入输出量
在控制系统的分析和设计中，对象的数学模型是十分重要的基础资料。对象的数学模型可分为静态数学模型和动态数学模型。静态数学模型描述的是对象在静态时的输入量与输出量之间的关系；动态数学模型描述的是对象在输入量改变以后输出量的变化情况。静态与动态是事物特性的两个侧面，可以这样说，动态数学模型是在静态数学模型基础上的发展，静态数学模型是对象在达到平衡状态时的动态数学模型的一个特例。
必须指出，这里所要研究的主要是用于控制的数学模型，它与用于工艺设计与分析的数学模型是不完全相同的。尽管在建立数学模型时，用于控制的和用于工艺设计的可能都是基于同样的物理和化学规律，它们的原始方程可能都是相同的，但两者还是有差别的。
用于控制的数学模型一般是在工艺流程和设备尺寸等都已确定的情况下，研究的是对象的输入变量是如何影响输出变量的，即对象的某些工艺变量（如温度、压力、流量等）变化以后是如何影响另一些工艺变量的（一般是指被控变量），研究的目的是为了使所设计的控制系统达到更好的控制效果。用于工艺设计的数学模型（一般是静态的）是在产品规格和产量已经确定的情况下，通过模型的计算，来确定设备的结构、尺寸、工艺流程和某些工艺条件，以期达到最好的经济效益。
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量形式，称为非参量模型；另一类是参量形式，称为参量模型。
1.非参量模型
当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定性的特征。但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难，必要时，可以对它们进行一定的数学处理来得到参量模型的形式。
由于对象的数学模型描述的是对象在受到控制作用或干扰作用后被控变量的变化规律，因此对象的非参量模型可以用对象在一定形式的输入作用下的输出曲线或数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃反应曲线、脉冲反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性曲线等。这些曲线一般都可以通过实验直接得到。
2.参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。
对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。
对于线性的集中参数对象，通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t）表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分方程式来描述
any（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+…+a1y'（t）+a0y（t）
=bmx（m）（t）+bm-1x（m-1）（t）+…+b1x'（t）+b0x（t） （2-1）
式中，y（n）（t），y（n-1）（t），…，y'（t）分别表示y（t）的n阶，（n-1）阶，…，一阶导数；x（m）（t），x（m-1）（t），…，x'（t）分别表示x（t）的m阶，（m-1）阶，…，一阶导数；an，an-1，…，a1，a0及bm，bm-1，…，b1，b0分别为方程中的各项系数。
在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的导数项，因此可表示为
any（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+…+a1y'（t）+a0y（t）=x（t）
例如，一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
a1y'（t）+a0y（t）=x（t） （2-2）
或表示成 Ty'（t）+y（t）=Kx（t） （2-3）
式中
以上方程式中的系数an、an-1、…、a1、bm、bm-1、…、b0以及T、K等都可以认为是相应的参量模型中的参量，它们与对象的特性有关，一般需要通过对象的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。