7.1　Close-To-Close（收盘价—收盘价估计量）

顾名思义，这种波动率的估计方法采用收盘价来估计波动率。

由于波动率的标准定义是变量方差的平方根，所以只需要根据方差的无偏估计的定义就可以得到历史波动率的计算公式：

其中，σ为历史波动率；x_i为对数收益率；为样本的收益率的均值；N为样本规模，即参与计算的x_i的个数；P_t是t时刻的收盘价格。

温馨提示

在计算收益率时一般都采用对数收益率，而不是算术收益率。一个重要的原因是对数收益率具有可加性。比如，股票从t₁到t₂及t₂到t₃时刻的对数收益率分别为r₁和r₂，那么从t₁到t₃时刻的对数收益率刚好为r₁+r₂。

但是，以上计算公式可能会存在一个很明显的问题。举个极端的例子，我们假设在一段时间，每天股票价格都上涨3%，股票价格实际发生了很大的波动。但在上述公式中，由于，计算得到的波动率竟然为0！特别是在小样本情况下，类似情况很有可能发生。所以，在利用Close-To-Close的方法估计时，往往假设收益率的均值。

于是，均值为0的条件下，历史波动率的计算公式就变成：

此外，一般情况下，我们都需要将波动率以年化的形式表示，即需要乘以以年为单位的频数长度（也就是一年的交易周期）的平方根。例如，当我们使用的是日数据时，如果年交易天数是252天，那就需要乘以，年波动率变为。

另外，从数学上还可以证明，我们只需要将计算结果除以校正因子b即可得到总体标准差的无偏估计。校正因子的公式如下：

其中，N为样本容量。

可以证明，随着N的增大，b的值越来越接近1，这意味着增加样本容量，可以得到更加精确的估计结果。

从以上收盘价－收盘价估计量的计算公式，我们可以发现收盘价—收盘价估计量具有抽样特性很容易理解、偏差容易纠正的优点，但这个估计量只使用了收盘价数据，所以收敛速度很慢。

如果看到这里还有点困惑，看看下面的例子就知道怎么用这种方法求历史波动率了。表7-1是上证50ETF 2017年6月1日—6月28日的收盘价，我们以Excel为例为大家求解一遍吧。

表7-1　上证50ETF 2017年6月28日历史波动率计算

续表

假设用过去20个交易日数据作为样本求解6月28日的历史波动率。首先利用公式计算这20个交易日的对数收益率如表7-1C列所示，之后套用均值为0的波动率公式，并将结果乘以，就可以得到Close-To-Close的历史波动率为0.1226。