命题III.35

圆中两弦相交，一弦分成的两段构成的矩形的面积等于另一弦分成两段构成的矩形的面积。

设：在圆ABCD中，两条弦AC、BD交于E点。

求证：AE、EC构成的矩形的面积等于DE、EB构成的矩形的面积。

如果AC、BD穿过圆心，那么E便是圆ABCD的圆心，这表明，AE、EC、DE和EB相等，AE、EC构成的矩形的面积也就等于DE、EB构成的矩形的面积。

假定：AC、DB不是穿过圆心的线，设F为圆心，从F点作FG、FH分别垂直于AC、DB，连接FB、FC和FE（命题III.1、I.12）。

那么因为：穿过圆心的线段GF切分不穿过圆心的线段AC形成直角。

所以：它也平分该线段。所以：AG等于GC（III.3）。

因为：线段AC在G点被二等分和E点不等分，那么以AE、EC为边构成的矩形的面积加以EG为边的正方形的面积便等于GC为边的正方形的面积（命题II.5）。

加上以GF为边的正方形的面积，于是：以AE、EC构成的矩形面积加上分别以GE、GF为边的正方形的面积就等于分别以CG、GF为边的正方形的面积之和。而以FE为边的正方形的面积等于分别以EG、GF为边的正方形的面积之和，以FC为边的正方形的面积又等于分别以CG、GF为边的正方形的面积之和。

所以：AE、EC构成的矩形的面积加以FE为边的正方形的面积等于以FC为边的正方形的面积（命题I.47）。

又，FC等于FB，所以：AE、EC构成的矩形的面积加以EF为边的正方形的面积等于以FB为边的正方形的面积。

同理，DE、EB构成的矩形的面积加以FE为边的正方形的面积，等于以FB为边的正方形的面积。

而AE、EC构成的矩形的面积加以FE为边的正方形的面积也已被证明等于以FB为边的正方形的面积。

所以：AE、EC构成的矩形的面积加以FE为边的正方形的面积，等于DE、EB构成的矩形的面积加上以FE为边的正方形的面积。

令：每个减去以FE为边的正方形的面积。

于是：余下的AE、EC构成的矩形的面积等于DE、EB构成的矩形的面积。

所以：圆中两弦相交，一弦分成的两段构成的矩形的面积等于另一弦分成两段构成的矩形的面积。

证完

注解

这一命题或许应该成为一个比率：AE∶EB＝DE∶EC。

这一命题在《原本》的其他地方未再被利用。