4.1 液压动力机构与负载的匹配
液压动力机构是拖动负载的装置，根据负载的要求来选择液压动力机构的参数，称为液压动力机构与负载的匹配。
液压动力机构的主要参数是伺服阀的流量、液压能源的压力和液压缸的有效面积（或液压马达的排量），对泵控系统则是泵和马达的排量。这些参数选择的合理与否，不仅涉及能源利用率（效率），还极大地影响了系统的动、静态品质。因此，液压动力与负载的匹配是液压伺服系统设计中的重要问题。
一般来说，无论是阀控还是泵控动力机构，只要动力机构的静特性曲线能够包围负载轨迹，就能完成拖动负载的任务，但是它们的匹配不一定是最佳的。最佳的匹配是选择的参数使动力机构不仅满足系统的需要，而且还能使某项指标最佳（如耗能最小）。
讨论动力机构与负载匹配时，应先知道负载特性。负载特性是负载运动时所需的力（力矩）与负载本身的位置、速度、加速度之间的关系，可用图像的形式，也可用分析的形式来描述，通常用力（力矩）——速度图来表示，相应的变化曲线就是负载轨迹。负载图像与负载类型、负载本身的运动形式有关。当采用频率法分析时，可以认为负载是做正弦运动。
4.1.1 负载的类型及特性
1. 惯性负载F
式中：m——负载质量，Kg；
xp——负载位移，m；
假设负载作简谐运动，其运动速度方程为
则运动速度和力方程分别为
式中：ω——振动角频率；
vm——负载运动最大速度。
由式（4-3）可得出
由上式可知惯性负载为正椭圆曲线，当vm=0.025m/s，m=8kg，ω=0.628rad/s时，编制MATLAB程序如下：
t=0:0.01:10;
v=0.025*sin(0.628*t);
f=8*0.025*cos(0.628*t);
plot(f,v)
grid
xlabel('F/N')
ylabel('v m/s')
运行上述程序后，得到如图4-1所示的曲线。
图4-1 惯性负载轨迹
2. 惯性负载与黏性负载合成的负载轨迹
在实际系统中，负载往往是很复杂的，可能由许多典型负载耦合而成。这里以惯性负载与黏性负载的合成为例进行说明。
设质量运动方程为
加速度为
负载的力方程为
由式4-5和式4-6得到
由上式可知惯性与黏性负载合成的负载轨迹方程为斜椭圆轨迹，当B=8N/(m/s)，ω=0.628，m=8kg，ω=0.628rad/s，vm=0.025,0.05,0.025m/s时，在MATLAB中编制程序如下：
subplot(121)
t=0:0.01:40;
v1=0.05*sin(0.157*t);
v2=0.05*sin(0.314*t);
v3=0.05*sin(0.628*t);
f1=8*0.05*0.157*cos(0.157*t)+8*0.05*sin(0.157*t);
f2=8*0.05*0.314*cos(0.314*t)+8*0.05*sin(0.314*t);
f3=8*0.05*0.628*cos(0.628*t)+8*0.05*sin(0.628*t);
plot(f1,v1,f2,v2,f3,v3)
grid
title('相同速度幅值不同频率时的负载轨迹')
xlabel('F(N)')
ylabel('v(m/s)')
gtext('\omega=0.628')
gtext('\omega=0.314')
gtext('\omega=0.157')
subplot(122)
t=0:0.01:40;
v1=0.1*sin(0.628*t);
v2=0.05*sin(0.628*t);
v3=0.025*sin(0.628*t);
f1=8*0.1*0.628*cos(0.628*t)+8*0.1*sin(0.628*t);
f2=8*0.05*0.628*cos(0.628*t)+8*0.05*sin(0.628*t);
f3=8*0.025*0.628*cos(0.628*t)+8*0.05*sin(0.628*t);
plot(f1,v1,f2,v2,f3,v3)
grid
title('不同速度幅值相同频率时的负载轨迹')
xlabel('F(N)')
ylabel('v(m/s)')
gtext('v_m=0.1')
gtext('v_m=0.05')
gtext('v_m=0.025')
运行上述程序后，得到的负载轨迹如图4-2所示。
图4-2 惯性负载与黏性负载合成的负载轨迹
3. 弹性负载特性
弹性负载力为
假设x=x0sinωt，则负载轨迹方程为
或写成
k=1000;w=0.628;x0=10;
t=0:0.01:10;
v=x0*w*sin(w*t);
f=k*x0*cos(w*t);
plot(f,v,'k')
grid
xlabel('F/N')
ylabel('v m/s')
弹性负载轨迹也是一个正椭圆，如图4-3所示。其中最大负载力Fpmax=Kx0与ω无关，而最大负载速度
与ω成正比，故ω增加时椭圆横轴不变，纵轴与ω成比例增加。因为弹簧变形速度减小时弹簧力增大，所以负载轨迹上的点是顺时针变化的。
图4-3 弹性负载轨迹
4. 摩擦负载特性
摩擦力包括静摩擦力和动摩擦力。静摩擦力与动摩擦力之和构成干摩擦力。当静摩擦力与动摩擦力近似相等时的干摩擦力称为库仑摩擦力。
5. 合成负载特性
实际系统的负载常常是上述若干负载的组合，如惯性负载、黏性阻尼负载与弹性负载组合。此时负载力为
若负载位移x=x0sinωt，则负载轨迹方程为
对上述两式编制的MATLAB程序如下：
k=1000;w=0.628;x0=10;m=10;B=0.01
t=0:0.01:10;
v=x0*w*cos(w*t);
A=atan(B*w/(k-m*w*w))
f=x0*sqrt((k-m*w^2)^2+B^2*w^2)*sin(w*t+A)
% f=(k-m*w^2)*x0*sin(w*t)+B*x0*w*cos(w*t);
plot(f,v,'k')
grid
xlabel('F/N')
ylabel('v m/s')
运行上述程序后，得到的负载轨迹如图4-4所示。
图4-4 惯性、黏性阻尼和弹性组合负载轨迹
对惯性负载、弹性负载、黏性阻尼负载或由它们组合的负载，随频率增加负载轨迹加大，在设计中应考虑最大工作频率时的负载轨迹。
当存在外干扰力或负载运动规律不是正弦形式时，负载轨迹就复杂了，有时只能知道部分工况点的情况。在负载轨迹上，对设计有用的工况点是：最大功率、最大速度和最大负载力工况。一般对功率的要求很难满足，因此也是非常重要的要求。
4.1.2 等效负载的计算
液压执行元件有时通过机械传动装置与负载相联，如齿轮传动装置、滚珠丝杠等。为了分析计算方便，需要将负载惯性、负载阻尼、负载刚度等折算到液压执行元件的输出端，或者将液压执行元件的惯量、阻尼等折算到负载端。如果还要考虑结构柔度的影响，其负载模型就为二自由度或多自由度系统。
图4-5（a）所示为液压马达负载原理图。图中用惯量为Jm的液压马达驱动惯量为JL的负载，两者之间的齿轮传动比为n，轴1（液压马达轴）的刚度为Ks1，轴2（负载轴）的刚度为Ks2。假设齿轮是绝对刚性的，则齿轮的惯量和游隙为零。
图4-5 负载的简化模型
图4-5（a）所示的系统可简化成图4-5（c）所示的等效系统。其方法如下：
第一步简化是将挠性轴2换成绝对刚性轴，并用改变轴1的刚度来等效原系统，如图4-5（b）所示。在图4-5（a）中，首先把惯量JL刚性地固定起来，并对惯量Jm施加一个力矩Tm，由此，在大齿轮2上产生一个偏转角nTm/Ks2。在力矩Tm作用下轴1转过角度为Tm/Ks1。则惯量Jm的总偏转角为
。由此得出，对轴1系统的等效刚度为Kse，则
由于刚度的倒数为柔度，因此系统的总柔度等于轴1的柔度加轴2的柔度与传动比的平方的乘积。
第二步简化是将轴2上的负载惯量JL和黏性阻尼系数BL折算到轴1上。假设JL折算到轴1上的等效惯量为Je，BL折算到轴1上的等效黏性阻尼系数为Be，由图4-5（c）和图4-5（b）根据牛顿第二定律，可写出以下两个方程。
式中：T1——液压马达作用在轴1上的力矩；
T2——齿轮1作用在轴2上的力矩；
θ1——轴1的转角；
θ2——轴2的转角。
考虑到T2=nT1，θ1=nθL，由式（4-18）得到：
将式（4-17）与（4-19）进行比较，可得出
根据以上分析可得出：将系统一部分惯量、黏性阻尼系数和刚度折算到转数高i倍的另一部分时，只需将它们除以i2即可。相反地，将惯量、黏性阻尼系数和刚度折算到转数低i倍的另一部分时，只需乘以i2即可。
机床液压驱动系统原理如图4-6（a）所示。假设工作台运动部分的质量为m，导轨黏性系数为Be，马达轴与丝杠间的传动比为n，丝杠的螺距为L，工作台的运动速度为v，马达转轴的角速度为ωm，根据动能不变的原理，可将机床工作台的质量、丝杠的刚度折算到马达轴上。
图4-6 机床液压驱动系统的负载折算
即有
则有
由于
，可得出：
根据形变能不变的原则，可得折算到马达轴上的刚度为
根据阻尼能不变的原则，可得
式中：θm——马达转动的转角；
s——导轨移动的距离。
其中导轨移动的距离s与马达转动的转角θm、导轨移动速度v与马达转动的角速度ωm之间的关系为
则由导轨处的黏性系数Be折算到马达轴上的黏性系数BL为：
4.1.3 液压动力元件的输出特性
根据伺服阀的稳态特性方程，经坐标变换，即取横坐标为F=Ap，纵坐标为
，所L绘出的稳态特性曲线为动力机构稳态时的输出特性，如图4-7所示。
图4-7 液压动力元件输出特性的变化
（1）提高供油压力，使整个抛物线右移，输出功率增大，如图4-7（a）所示。
（2）增大阀的最大开口面积，使抛物线变宽，顶点不动，输出功率增大，如图4-7（b）所示。
（3）增大液压缸活塞面积，使抛物线顶点右移，同时使抛物线变窄，最大输出功率比不变，如图4-7（c）所示。
这样可以调整ps、ωxVmax、Ap三个参数，使之与负载匹配。
4.1.4 动力机构与负载匹配
1. 阀控液压缸动力机构与负载的匹配
以四通阀控双作用液压缸动力机构与质量＋黏性负载为例说明它们之间的匹配关系。
式（4-8），经整理可写成
如果负载轨迹已经确定，为了达到动力机构输出弹性与负载匹配，应该设置动力机构的参数来调整其输出特性。以阀控液压缸而言，动力机构输出特性（静特性）为
式中：xmax——阀芯最大开口量
故其功率方程为
对上式两边求导令其为零，可得出：
故最大功率点处的负载压力为
若负载轨迹为正椭圆，则
式中：C——Apvm；
则
其功率方程为
对上式两边取导数并令其为零，可得出
故最大功率点的负载压力为
将式（4-27）带入（4-26），可得出
由式（4-27）与式（4-24）式相等可得出
由式（4-28）与式（4-26）相等可得出
例如：某位置系统的负载力为
，而y=2sin31.4t，求动力机构的最佳匹配参数qM和Ap。这里Ps=14MPa，Ap=0.400m2。m=1kg
解：由y=2sin31.4t得出
则
由式（4-29a）得出
由式（4-29b）得出
2. 阀控液压马达式动力机构
若令（4-31）中的B=Tmax/Vm，把线速度vm变为
的模的最大值
则
式中：Tmax——负载力矩的模的最大值；
Vm——马达排量。
则式（4-34a）和（4-34b）可以写成
根据负载轨迹进行负载匹配时，只要使动力元件的输出特性曲线能够包围负载轨迹，同时使输出特性曲线与负载轨迹之间地区域尽量小，便可认为液压动力元件与负载相匹配。只要输出特性曲线能够包围负载轨迹，动力元件便能够满足负载的需要。尽量减小输出特性曲线与负载轨迹之间的区域，就能减小功率损失，提高效率。如果动力元件的输出特性曲线不但包围负载轨迹，而且动力元件的最大输出功率点与负载的最大功率点相重合，就认为动力元件与负载是最佳匹配。此时，功率利用最好。
在图4-8中，输出特性曲线1、2、3均包围负载轨迹，都能够拖动负载。曲线1的最大输出功率点（a点）与负载的最大功率点相重合，满足最佳匹配条件。曲线2表明，若液压缸活塞面积太大或控制阀小，则供油压力过高。该曲线的斜率小，动力元件的静态速度刚度大，线性好，响应速度快。但动力元件的最大输出功率（b点）大于负载的最大功率（a点），动力元件的功率没有充分利用。曲线3表明，若液压缸活塞面积太小或控制阀大，则供油压力低。曲线斜率大，静态速度刚度小，线性和响应速度都差。动力元件的最大输出功率（c点）仍大于负载的最大功率。
图4-8 动力元件与负载的匹配