2.1 线性电阻网络等效变换

2.1.1 电阻的串联、并联和混联及其等效变换

1．电阻的串联电路及其等效变换

多个电阻串联电路可以用一个电阻R来代替。电阻串联电路及其等效变换电路如图2-1所示。在图2-1a中，假定有n个电阻R₁，R₂，…，R_n顺序相接，其中没有分支，称为n个电阻串联，U代表总电压，I代表电流。此电路具有的特点是，通过每个电阻的电流相同。

根据基尔霍夫电压定律（KVL），有

U=U₁+U₂+…+U_n=R₁I+R₂I+…+R_nI=（R₁+R₂+…+R_n）I=RI

其中等效电阻

上式表明，电阻串联的等效电阻等于相串联的各电阻之和。显然，等效电阻必然大于任一个串联的电阻，等效电路如图2-1b所示。

各串联电阻的电压与电阻值成正比，即

功率为

p=UI=（R₁+R₂+…+R_n）I²=RI²

n个串联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸收的功率。

若当n=2（即两个电阻的串联）时，则两个电阻的端电压分别为

从式（2-1）不难看出，U₁、U₂是总电压U的一部分，且U₁、U₂分别与阻值R₁、R₂成正比，即电阻值大者分得的电压大，这就是电阻串联时的分压作用。

串联电阻的分压作用在实际电路中有广泛应用，如电压表扩大量程、作为分压器使用、直流电机中串电阻起动等。

2．电阻的并联电路及其等效变换

多个电阻并联电路可以用一个电阻R来代替。电阻的并联电路及其等效变换电路如图2-2所示。在图2-2a中，假定有n个电阻R₁，R₂，…，R_n并排连接，承受相同的电压，称为n个电阻并联，I代表总电流，U代表电压。根据基尔霍夫电流定律（KCL），有

显然，R＜R_k，等效电阻小于任一并联电阻。等效电路如图2-2b所示。当电阻并联时，各电阻流过的电流与电阻值成反比

功率为

n个并联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸收的功率。

若当n=2（即两个电阻并联）时，则两个电阻并联时求分流的计算公式为

从式（2-2）不难看出，电阻并联时各自的电流与各自的电阻值成反比，即电阻值小者分得的电流大。要注意，式（2-2）只适合两个电阻并联的情况，不适合3个或3个以上电阻并联的情况。

3．电阻的混联电路及其等效变换

既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路。分析混联电路的关键问题是如何判别串、并联，这是初学者感到较难掌握的地方。判别混联电路的串、并联关系一般应掌握以下3点。

1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相联，则是串联；若是首首尾尾相联，则是并联。

2）看电压电流关系。若流经两电阻的电流是同一个电流，则是串联；若两电阻上承受的是同一个电压，则是并联。

3）对电路进行变形等效。即对电路作扭动变形，如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面，弯曲的支路可以拉直等；对电路中的短路线可以任意压缩与伸长；对多点接地点可以用短路线相联。这点是针对纵横交错的复杂电路非常有效的。一般情况下，电阻串、并联电路的问题都可以用这种方法来判别。

【例2-1】 求图2-3a所示电路ab端的等效电阻。

解：将短路线压缩，c、d、e三个点合为一点，如图2-3b所示。再将能看出串、并联关系的电阻用其等效电阻代替，如图2-3c所示，由图2-3c就可方便地求得

R_eq=R_ab=[（2Ω+2Ω）∥（4Ω+1Ω）]∥3Ω=1.5Ω

这里，“∥”表示两元件并联，其运算规律遵守该类元件的并联公式。

2.1.2 电阻星形联结和三角形联结

电阻的连接形式除串联、并联和混联外，还有既不是串联又不是并联的形式，常称之为Y-△联结结构，Y-△联结结构电路图如图2-4所示。显然不能用电阻串、并联的方法求图2-4a中12端的等效电阻。如果能将图2-4a等效为图2-4b，即用图2-4b中点画线围起来的C电路代换图2-4a中点画线围起来的B电路，那么从图2-4b就可以用串并联方法求得12端的等效电阻，给电路问题的分析带来方便。由图2-4a等效为图2-4b就应用到星形电路与三角形电路的互换等效。

1. Y-△等效变换

所谓Y电路等效变换为△电路，就是已知Y电路中3个电阻R₁、R₂、R₃，通过变换公式求出△电路中的3个电阻R₁₂、R₁₃、R₂₃，将之接成△去替换Y电路的3个电阻，从而完成Y电路等效变换为△电路的任务。

由图2-4所示，经分析得到（推导略去）Y-△等效变换的变换公式为

观察式（2-3），也可看出规律，即△电路中连接某两个端钮的电阻等于Y电路中3个电阻两两乘积之和除以与第三个端钮相连的电阻。在特殊情况下，若Y电路中3个电阻相等，即R₁=R₂=R₃=R_Y，显然，等效变换的△电路中3个电阻也相等，由式（2-3）不难得到R₁₂=R₂₃=R₁₃=R_△=3R_Y。

2.△-Y等效变换

所谓△电路等效变换为Y电路，就是已知△电路中3个电阻R₁₂、R₁₃、R₂₃，通过变换公式求出Y电路中的3个电阻R₁、R₂、R₃，将之接成Y电路去替换△电路中的3个电阻，从而完成△电路等效变换为Y电路的任务。

由图2-4所示，经分析得到（推导略去）△-Y等效变换的变换公式为

观察式（2-4），可以看出这样的规律，即Y电路中与端钮i（i=1，2，3）相联的电阻R_i等于△电路中与端钮i相连的两电阻乘积除以△电路中3个电阻之和。在特殊情况下，若△电路中3个电阻相等，即R₁₂=R₂₃=R₁₃=R_△，显然，等效变换的Y电路中3个电阻也相等，则由式（2-4）不难得到

【例2-2】 试求图2-5所示电路的电压U₁。

解：应用△-Y等效变换将图2-5a等效为图2-5b，再应用电阻串并联等效变换求得等效电阻R_ab=3Ω+[（3Ω+9Ω）∥（3Ω+3Ω）]=7Ω，则电流

由分流公式计算，得

U₁=R₁×I₁=3Ω×2A=6V