二、例题

1. ，求u的一阶偏导数和全微分。

2．求题1中的函数的所有二阶偏导数。

解：根据上题的结果可得：

3．函数,（a＞0, b＞0）是不是齐次函数？如果是，请验证欧拉公式。

解：∵

∴函数是（a+b）次齐次函数。

上式满足欧拉公式。

4．求函数f（x, y）=x+2ey-ex-e2y的极值，并判断是极大值还是极小值。

解：首先可求得

一阶条件：

二阶条件：

这是极大值的二阶条件。

所以，当x=0, y=0.5时，函数取得最大值，最大值为-1。

5．求下列问题的解：

解：构造拉格朗日函数。

一阶条件：

通过上面三式联立可得：

x1=40 x2=50 λ=80

验证二阶条件：

所以，x1=40, x2=50是上述问题的解。