立体主义与微积分

阿基米德在他的著作《抛物线求积法》中，再次借助无穷原则深入探讨了曲线之谜。抛物线描绘的是人们熟悉的篮球三分球或饮水喷头喷出的水所形成的弧。实际上，这些现实世界中的弧都只是近似于抛物线。对阿基米德来说，真正的抛物线应该是用平面截切锥体得到的曲线。想象一下，用一把切肉刀截切一顶锥形纸帽或者一个锥形纸杯，根据切肉刀截切锥体的陡度，它可以切出不同类型的曲线。如果它平行于锥体底面截切，就会得到一个圆（图2–6）。

如果它截切的角度略微倾斜，就会得到一个椭圆（图2–7）。

如果它截切的角度与锥体的斜率相同，就会得到一条抛物线（图2–8）。

从切面看，抛物线是一条优美的对称曲线，它的正中间有一条对称线，被称为轴（图2–9）。

在《抛物线求积法》中，阿基米德给自己设置了一个挑战：求解抛物线弓形的面积。用现在的话说，抛物线弓形指的是抛物线和一条斜截抛物线的直线围成的曲线形状（图2–10）。

求解抛物线弓形的面积意味着，利用较简单形状（比如正方形、矩形、三角形或其他直线图形）的已知面积，表示出未知的弓形面积。

阿基米德采取了令人吃惊的策略，他把抛物线弓形重新想象成由无穷多个三角形碎片（像碎陶片一样）粘在一起形成的图形，如图2–11所示。

碎片的大小层级是没有尽头的：一个大三角形，两个小三角形，4个更小的三角形，以此类推。他的计划是先算出所有三角形的面积，再把它们加起来，得出他想知道的曲线形状的面积。这需要经历一次艺术想象上的千变万化的飞跃，才能把光滑的抛物线弓形看成是由参差不齐的形状拼凑而成的镶嵌图形。如果阿基米德是一位画家，那么他或许是第一位立体主义者。

为了实施他的策略，阿基米德必须先算出所有碎片的面积。但是，该如何精准地确定这些碎片呢？毕竟，就像把一个盘子摔成碎片的方法有无数种一样，把三角形碎片拼成抛物线弓形的方法也有无数种。如图2–12所示，其中最大的三角形碎片可能是第一种，或者是第二种，也可能是第三种。

他想出了一个绝妙的主意，妙就妙在它建立了一个规则，即从一个层级到下一个层级都保持着一致性模式。他想象将弓形底部的斜线向上滑动，同时与它自身保持平行，直到它刚好触碰到抛物线顶部附近的某个点（图2–13）。

这个特殊的接触点被称为切点，它确定了大三角形的第三个角的位置，另外两个角的顶点就是斜线与抛物线的交点。

阿基米德运用同样的规则来确定每个层级的三角形。比如，第二层级的三角形如图2–14所示。

注意，大三角形的边现在扮演着第一层级中斜线的角色。

接下来，阿基米德调用关于抛物线和三角形的已知几何事实，将相邻的层级联系起来。他证明了每个新构建三角形的面积都是上一层级三角形面积的1/8，因此，如果我们说第一层级的三角形占据了一个面积单位（这个三角形将充当我们的面积标准），那么第二层级的两个三角形一共占据了1/8+1/8=1/4个面积单位（图2–15）。

同样的规则也适用于之后的每个层级：某一层级三角形的总面积总是其上一层级三角形总面积的1/4。所以，将无穷个层级的三角形碎片重新组合在一起，就可以得出抛物线弓形的面积S：

这是一个无穷级数，其中每一项都是它前一项的1/4。

求这类无穷级数（几何级数）的和有一条捷径可走，技巧就是先将方程两边同时乘以4，再对无穷级数中除一项之外的所有项进行约分，然后方程两边同时减去所要求的和。注意，将上述无穷级数中的每一项都乘以4，就会得到：

神奇的事情发生在倒数第二行和最后一行之间。最后一行的右边等于4+S，因为所要求的和S=1+1/4+1/16+…就像涅槃的凤凰一样在倒数第二行的4后面重生了。

4×S=4+S

左右两边同时减去一个S，得到3×S=4。那么，

换句话说，抛物线弓形的面积是大三角形面积的4/3。