2.1　系统微分响应理论的提出

2.1.1　系统微分迫近特性与反演计算思路

微分具有许多特性，可被用于解决许多工程实际问题和科学研究问题。这里介绍微分响应迫近特性用于解决反演估计问题的研究思路。

对于一个任意的系统或模型或函数，其输出Y向量都可以表达为

式中：X为由参数、中间状态变量、特征量和输入所组成的向量。系统的微分为

为了能简单地说明系统微分的迫近特性而又不失一般性，这里以如下抛物线函数为例：

对上例求微分得

微分的离散近似可表达为

式（2-3）的微分表达式的导数为

假设已知输出y=5，据微分迫近特性反演计算输入x，其迫近计算步骤如下：

1）给定初始值x（0）。

2）用式（2-3）计算模型输出值y（n）。

3）判断目标函数（y-y（n））2的值否满足精度要求，满足精度要求则计算终止，否则，继续下一次循环反演计算。

4）用式（2-6）计算导数值

5）用算x（n+1），回到步骤2）依次循环。

上述表达中n表示修正之前或者初值，n+1表示修正之后或者寻优之后的值。其相应的迫近计算结果见表2-1。

为了更加直观地表达微分迫近方法的反演计算特性，上述案例寻优过程中自变量X和目标函数值随着寻优次数的变化过程见图2-1。

从图2-1中可以看出在给定初值之后，通过系统微分能够迅速地往真值靠拢，每次寻找之后目标函数值都在减小，且收敛速度较快。上例中优值存在两个，分别为2和-2，由于上例中给定的初值为1，所以通过系统微分迫近，能够从给定系统输出值中提取有效信息直接向最靠近初值的真值迫近。

从这个例子可以得出3点结论：

（1）反演计算的每一步循环都是从输出y获得与输入x有响应关系的有效估计信息。

（2）每一步循环估计的新值x（n+1）都是唯一的。

（3）每一步循环都使误差变得更小，并且迅速收敛于真值，即

即当n→+∞时，|y-y（n）|=0。由于函数式（2-1）中的微分自变量可以是模型的参数、状态特征量、中间变量甚至输入特征量等，因此可以利用微分迫近特性，通过类似地循环计算，据输出信息通过微分响应关系反演估计系统（或模型）的参数、状态特征量、中间变量甚至输入特征量等。

2.1.2　系统微分与响应函数

系统函数的导数或微分反映了系统输入、状态值、参数等与系统输出之间的变化特征，在实际中具有广泛的应用价值。但其在水文学领域的应用还很少，值得水文学研究者深入研究与开发利用。系统响应曲线就是系统函数对系统中的变量的导数系列值，其特征在水文预报中具有广泛的应用价值。所以本章从分析函数与系统的导数、微分入手，剖析其特征，研究系统微分响应理论的适用性和应用范围。

函数的导数与微分，是科学研究中应用最广泛的。这里先剖析其特点及其在水文科学中的可能应用。函数导数是微积分学的基础，函数极限与导数差分是理解实际科学应用的基础。

以单一自变量的函数为例，单一自变量的函数为一元函数，一般可表达为

式中：y为因变量；x为自变量。

如果函数在自变量的邻域[x，x+Δx]连续，且存在如下极限：

则有函数在点x的导数，通常表达为

导数的几何意义见图2-2。

图2-2可知，导数几何意义反映了函数在自变量x处的切线斜率，其值等于自变量改变的无限小量Δx与相应因变量改变值之比的极限。当Δx为有限小值时，导数应用表达存在2种形式的误差。

（1）用导数表达x+Δx处函数值的误差，表达为

该关系式表明：任何一个非线性函数，只要在邻域[x，x+Δx]连续，且存在导数，其函数都可近似表达为导数的线性函数。

（2）用有限值表达导数时的误差，表达式为

或者用角度误差形式可表达为

导数的这些几何意义与特点为实际科学应用提供了思路与方法。导数或微分是在函数连续与极限无穷小变化情况下的表达，但在实际科学中，一般研究的只能是有限的和离散的。那么用有限小量代替极限无穷小的误差范围需要进一步分析。

对于连续且存在导数的函数，函数微分等于自变量增量与其导数的乘积，表达式为

当自变量和因变量增量为有限小时，存在误差关系：

因为：

所以：

由式（2-17）可知，一元函数有限小增量微分表达误差e是比自变量增量Δx更高阶的小量。

多元函数微分表达式为

式中：X为自变量向量。

式（2-17）用偏导数形式表达为

式中：偏导数表达了除自变量xi以外都固定不变函数在点{x1，x2，…，xi，…，xn}的xi方向切线斜率，几何意义与一元函数类似。

当自变量和因变量的变化量均为无穷有限小时，自变量的变化量和因变量的自变量之间存在着类似的误差关系，可以表达为

因为：

其中　

所以：

由式（2-22）可知，多元函数有限小增量微分表达误差e是比最大自变量增量Δxmax更高阶的小量。

由上分析可知，不论是一元函数还是多元函数，其有限小量代替无穷小量的微分表达误差都是比自变量增量更高阶的小量。这是有限微分表达的实际应用可行性的重要理论保障，并为该理论的实际应用提供精度分析理论基础。

对于一元函数微分表达式，即式（2-14），因变量增量dy是由于自变量增量dx的改变而引起的改变，可称因变量增量dy是自变量增量dx的微分响应。如果因变量增量还是其他变量（如时间）的函数，那么dy（t）称为微分响应函数，简称为响应函数。特别当自变量增量dx为一个单位时，其相应的响应函数又称为单位响应函数，而且其表达形式与其导函数相同，即表达为

对于多元函数的微分表达为

因变量增量dy是由于全部自变量增量{dx1，dx2，…，dxi，…，dxn}的改变而引起的改变，通常称因变量增量dy是自变量增量{dx1，dx2，…，dxi，…，dxn}的全微分响应，如果因变量增量还是其他变量（如时间）的函数，那么dy（t）称为全微分响应函数。当自变量除xi以外固定不变时，因变量增量dy只是由自变量增量dxi的改变而引起xi方向的改变，通常称因变量增量dy是自变量增量dxi的系统偏微分响应，如果因变量增量还是其他变量（如时间）的函数，那么dy（t）称为系统偏微分响应函数。特别当自变量增量dxi为一个单位时，其相应的偏微分响应函数也称为单位系统响应函数，而且其值等于其偏导函数，即

函数微分中存在的这种自变量增量与因变量增量之间的关系，在研究实际工程问题中，原则上需要考虑自变量增量与因变量增量之间响应关系的问题都可以应用（以下简称微分关系应用原则）。在水文模拟与预报中最常遇到的有两类研究：①水文预报中的误差修正；②水文模拟中的模型参数率定。

水文模拟误差修正研究中，经常考虑的是模型自变量或影响因素误差与模型计算结果误差之间的量化关系，误差修正方法就是利用这种变化量之间的对应量化关系，根据模型计算误差系列估计自变量或影响因素误差系列，再根据估计的误差系列来修正模型计算结果。而这里模型自变量或影响因素误差为自变量变化量，模型计算结果误差为因变量变化量，恰好符合因变量与自变量之间的系统响应关系。那么理论上还需要研究的有：①微分响应误差修正方法的实现步骤；②修正方法的有效性证明。

一个完整的系统由输入数据、输出结果和系统结构共同构成，见图2-3。

图2-3中，IN表示系统输入项；OUT表示系统输出项；SYSTEM表示系统；X表示系统状态变量；θ表示系统参数。由图可以看出，系统输入项（IN）通过系统（SYSTEM）处理最终转化为系统输出项（OUT），那么输入的变化最终会影响到输出结果的变化，影响的大小是由输入数据、输入的变化量和系统因素共同决定，在输入变化量确定的情况下，由输入数据和系统因素共同决定。系统因素主要包括系统结构、系统参数以及系统状态等。

为了便于研究，给定如下系统响应的定义。系统响应是指输入的单位变化量通过系统处理后，最终引起的输出结果的变化量。在这个定义下，系统响应与输入数据和研究的系统有关，与其他因素无关。