3.2 正弦量的相量表示法_电工电子技术基础-QQ阅读中文武侠网

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3.2 正弦量的相量表示法

在3.1节中看到正弦量可以用瞬时表达式（三角函数式）来表示，如U=U_msin（ωt+φ_u）、i=I_msin（ωt+φ_i），也可以用波形图表示，如图3.1.1所示。但是在正弦电路分析计算中，经常需要将几个同频率正弦量进行加减、乘除及微分和积分等运算。用上述两种方法描述正弦量并进行这些运算十分烦琐，很不方便。为了简化计算，在电路理论中，通常用相量来表示正弦量。相量表示法就是用复数来表示正弦量。

3.2.1 复数及其运算

1.复数及其表示形式

一个复数A由实部和虚部组成，即

这是复数代数形式，式中j=称为虚数单位，在数学中通常是用小写字母i来表示，但是在电路理论中，为了避免与电流符号混淆，改用j来表示。

通常用直角坐标系中的横轴表示复数实部，简称为实轴，以+1作为单位；纵轴表示复数虚部，简称虚轴，以+j为单位。实轴和虚轴构成复数坐标平面，简称复平面。于是任意一个复数都可以用复平面上一个确定的点来表示。例如，式（3.2.1）表示的复数与A（a，b）点相对应，如图3.2.1所示。用有向线段连接坐标原点O和A点，在线段末端带有箭头符号，成为一个矢量，该矢量就与复数A对应，这种表示称为复数矢量。

图3.2.1 复数表示

图3.2.1中矢量A的模是

矢量与实轴的夹角θ称为幅角，即

复数实部a与虚部b，分别是复数矢量在实轴和虚轴上的投影，即

把式（3.2.2）代入式（3.2.1），就得到复数三角函数形式为

根据欧拉公式有

可以得出复数的指数形式为

在电路计算中，为简化书写，常将复数的指数形式写成

式（3.2.5）称为复数的极坐标形式。

因此，一个复数可用代数式、指数式或极坐标式来表示，不同形式可以相互转换。在复数的上述表示形式中，代数式和极坐标式应用最多，且经常需要在代数式和极坐标式之间进行相互转换。例如，复数加减运算用代数形式，复数乘除运算用指数式或极坐标式。

实数和虚数可以看成复数的特例：实数是虚部为零、幅角为零或180°的复数，虚数是实部为零、幅角为90°或-90°的复数。

实部相等、虚部大小相等而符号相反的两个复数称为共轭复数。用A^∗表示A的共轭复数，即

2.复数运算

设有两个复数

（1）加、减运算

复数加、减运算使用代数形式比较方便，即将各复数实部和虚部分别相加或相减，即

A₁±A₂=（a₁±a₂）+j（b₁±b₂）

对于复数A₁和A₂的加减运算，可在复平面上用作图法进行，如图3.2.2a所示。首先画出A₁、A₂对应的复数矢量，然后按照平行四边形法则画出对角线，即得到一个新的复数矢量A，该复数矢量A就是和矢量（A₁+A₂）。显然，该矢量A在实轴上的投影是（a₁+a₂），在虚轴上的投影是（b₁+b₂）。减法运算亦可以用平行四边形法则进行，因为A₁+A₂=A₁+（-A₂），把矢量A₁和-A₂用平行四边形法则相加，所得的矢量即为A₁-A₂，如图3.2.2b所示。

图3.2.2 复数代数和图解法

（2）乘、除运算

两个复数进行乘、除运算时，采用极坐标形式较为方便。乘法运算法则是模相乘、幅角相加，除法运算法则是模相除、幅角相减，即

一个复数乘以+j或-j是复数乘法的一个特例。

+j和-j可以写成下面的形式：

任意复数A乘以+j，有

A·（+j）=|A|∠（φ+90°）

上式表明，任意一个复数矢量乘以+j，该矢量的模不变，幅角增加90°，相当于矢量逆时针方向旋转90°。同理，任意一个复数矢量乘以-j，该矢量的模不变，幅角减小90°，相当于矢量顺时针方向旋转90°。因此，j称为旋转90°的旋转因子。

3.2.2 正弦量的相量表示

1.相量法

在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，用于正弦交流电路分析计算的方法称为相量法。

设有一个正弦电压u=U_msin（ωt+φ），其波形如图3.2.3b所示。图3.2.3a所示是一条旋转有向线段，该有向线段的长度为正弦量的振幅U_m，它的初始位置（t=0时位置）与横轴正方向之间的夹角等于正弦量初相位φ，有向线段以ω角速度绕坐标原点逆时针旋转。可以看出，有向线段在纵轴上的投影就是正弦电压u。同时，该有向线段具有正弦量的三个要素，故可用来表示正弦量。正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量也可用复数来表示。如果用复数来表示正弦量，则复数的模即为正弦量幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相位。