1.2　风轮建模

1.2.1　风能的计算

由流体力学可知，单位体积气流所含能量可以表示为

式中　m——气体的质量；

v——气体的速度。

则穿过横截面积为S的气体体积V可以表示为

设空气密度为ρ，则该空气的质量可表示为

则速度为v的风，在经过横截面积为S处的风能表达为

从能量转换的角度来看，风力发电的原理是通过风轮将风能转换为机械能，再通过发电机将机械能转化为电能。1926年，德国物理学家Albert Betz提出了第一个气动理论——Betz基础动量理论。Albert Betz假定风轮是理想的，即它没有轮毂，具有无限多叶片，气流通过风轮时没有阻力；此外，假定气流经过整个风轮扫掠面时是均匀的，并且气流通过风轮前后的速度为轴向方向。

如图1-2所示，由功的定义可知，风能的机械能仅由空气的动能降低所致，因此v1＞v2，S1＜S2，假设气流是不可压缩而且连续的，故有S1v1=Sv=S2v2。

由欧拉定理，风作用在风轮上的力可以表示为

则风轮吸收的功率为

风轮吸收的功率是由动能转换而来的，从上游至下游动能的变化为

由于P=ΔE，则可得到

将式（1-8）分别代入式（1-5）和式（1-6），则可以得到作用在风轮上的力F，以及风轮吸收的功率P为

对于给定的风速v1，以v2为变量，将式（1-9）对v2微分可得

令式（1-10）等于0，可得到两个解：v2=v1/3，对应于最大功率；v2=-v1，没有物理意义。将v2=v1/3代入功率P的表达式（1-9），则可得最大功率表达式为

将式（1-11）除以气流通过扫掠面S时风所具有的动能E，可以得到风轮的理论最大风能利用系数，即

式（1-12）即为著名的贝茨理论的风能利用极限值。从式（1-12）可以看出，风轮所获取的风能是有限的，就算能量无损失且空气流是理想的，风能利用效率也只能达到0.593。在实际中，能量转换因发电机和风轮的不同而有差异，由于能量的转换将导致功率下降，风轮的实际风能利用系数远达不到0.593，基本为0.2～0.5。

1.2.2　风轮的特性系数

风轮的特性系数主要有风能利用系数CP、叶尖速比λ、转矩系数CT。

1.风能利用系数CP

风能利用系数可以衡量风轮从风能中捕获能量的多少，它的数学表达式为

式中　P——实际捕获得的功率，W；

ρ——空气密度，kg/m3；

v——风速，m/s。

S——风穿越面积。

CP值越大，说明风轮吸收的风能越大，效率就越高。风能利用系数CP是桨距角β和叶尖速比λ表示的函数，彼此关系如图1-3所示。

从图1-3中可得出两个结论：①对于任意λ，桨距角β=0°时，对应的CP为最大值，并随着桨距角β的增大而减小；②对于一个确定的β，此时存在唯一的最佳叶尖速比λopt，对应的风能利用系数记为CPmax，此时系统转换效率最高。

2.叶尖速比λ

风轮在不同风速下的状态用叶尖速比描述。叶尖速比为叶片的叶尖线速度与风速之比，即

式中　n——风轮的转速，r/s；

ω——风轮的角频率，rad/s；

R——风轮叶片的半径。

3.转矩系数CT

风能利用系数CP与叶尖速比λ之比称为转矩系数，即

式中　T——风轮转矩。

1.2.3　最大风能捕获原理

由式（1-14）可知，叶尖速比λ与风速、风轮的转速有关，相同的风速下，不同的风轮转速会得到不同的叶尖速比，从而得到不同的风能利用系数CP，风轮输出不同的功率P。若想获得最大风能利用系数CPmax，追踪最佳功率曲线，必须在风速变化时实时控制风轮的转速ω，保持最佳叶尖速比λopt。

风轮的功率P可用风轮转矩T和转速ω来表示，即

由式（1-16）可以得出，风轮的最大功率P和转矩T分别与转速ω的三次方和二次方成正比例关系，实质上风轮的功率曲线与转矩曲线是一致的，只是体现的角度不同而已。风轮功率特性曲线如图1-4所示。