4.1 静矩

我们所研究的杆件，其截面都是具有一定几何形状的平面图形。与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。杆件的强度、刚度、稳定性都与杆件横截面图形的几何性质密切相关，因此，必须明确这些几何性质的概念和几何量的计算方法。

静矩的概念 图4.1所示为一任意形状的平面图形，其面积为A，Oxy为平面图形所在平面内的任意直角坐标系。在坐标为（x、y）的任一点处，取微面积dA，则可求得下述积分

S_x=∫_AydA S_y=∫_Axd

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（4.1）

A

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式中：S_x，S_y分别称为该平面图形对x轴、y轴的静矩或一次矩。根据积分中值定理，式（4.1）还可表达成如下形式

图4.1

S_x=∫_AydA=y_CA S_y=∫_AxdA=x_C

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（4.2）

A

㊣

式（4.2）中的x_C和y_C表示图形平面内某点C的坐标，点C可以在图形内，也可能在图形外。

从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的坐标轴而言。同一图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的常用单位

是m³或mm³。

形心的概念 由式（4.2）可求出坐标x_C、y_C为

x_C=SAy=∫_AxAdA y_C=SAx=∫_AydA

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㊣

（4.3）

A㊣

在Oxy平面内由坐标x_C、y_C所确定的点C（x_C，y_C）称为平面图形的形心。形心是由物体的几何形状和尺寸所决定的几何中心，其相对于图形的位置不变，与坐标轴的选取无

关。由此可知，式（3.15）和式（3.16）也是面积形心坐标公式；式（3.13）和式

（3.14）也是体积形心坐标公式。对于均质物体来说，形心和重心是重合的，但是两个意义完全不同，重心是物理概念，形心是几何概念。而对于非均质物体，它的重心和形心就不在同一点上。

静矩的几何意义 静矩反映了图形的形心相对于坐标系的位置以及相对坐标轴的远近程

度。当S_x＞0，S_y＞0时，说明形心在坐标系的第一象限；当S_x＞0，S_y＜0时，说明形心

在坐标系的第二象限；当S_x＜0，S_y＜0时，

说明形心在坐标系的第三象限；当S_x＜0，S_y＞0时，说明形心在坐标系的第四象限。当静矩的绝对值愈大，形心离坐标轴愈远。当静矩为零时，说明图形的形心在坐标轴上。当

S_x=0时，形心在x坐标轴上；当S_y=0时，

形心在y坐标轴上；图形对过形心的坐标轴的静矩为零。图形有对称轴时，图形对对称轴的静矩为零，因为图形的形心必在对称轴上。

图4.2

组合平面图形的静矩和形心坐标公式 在工程结构中，常碰到工字形、T形、环形等横截面的构件，这些构件的截面是由几个简单的

几何图形组合而成，称这类图形为组合图形。如图4.2所示，根据平面图形静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即

S_x=S_x1+S_x2+…+S_xn=A₁y_C1+A₂y_C2+…+A_ny_Cn=ΣA_iy_Ci S_y=S_y1+S_y2+…+S_yn=A₁x_C1+A₂x_C2+…+A_nx_Cn=ΣA_ix ㊣

㊣

（4.4）

Ci㊣

式中：x_Ci、y_Ci为各简单图形的形心坐标；A_i为各简单图形的面积。

将式（4.4）代入式（4.3）中可得组合图形的形心坐标公式为

x_C=SAy=ΣΣAAixii y_C=SAx=ΣΣAAiy_i

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㊣

（4.5）

i㊣

对于简单图形的形心坐标可以从有关工程手册中查出。表4.1给出了几种常用简单图形的形心坐标和面积公式，以方便查阅。

表4.1

常用简单图形的形心位置和面积公式

序号

图形

形心位置

面积

直角三角形

1

x_C=a

3 y_C=h

A=ah

2

3

三角形

在三中线的交点

2

A=ah

y_C=h

2

3

梯形

3

在上、下底中点的连线上

y_C=h32aa++bb

A=h2（a+b）

半圆形

4

y_C=4r

3π

A=πr22

续表

序号

图形

形心位置

面积

扇形

5

x_C=23×rsαinα

A=αr²

弓形

6

x_C=23×r³sAin³α

A=r²（2α-sin2α）

2

标准二次抛物线图

7

图形Ⅰ的形心

x_C1=3a

4

图形Ⅰ的面积

y_C1=3b

10

A₁=13ab

图形Ⅱ的形心

图形Ⅱ的面积

x_C2=3a

8

A₂=23ab

y_C2=35b

续表

序号

图形

形心位置

面积

标准二次抛物线图

8

x_C=0 y_C=35b

A=23ab

标准三次抛物线图

图形Ⅰ的形心x_C1=4a

5

图形Ⅰ的面积

y_C1=27b

A₁=14ab

9

图形Ⅱ的形心

图形Ⅱ的面积

x_C2=2a

5

A₂=34ab

y_C2=47b

【例4.1】图4.3中的曲线OA是一条二次抛物线，其方程为y=b

x²。试求图形

a²

OAB的形心。

解：（1）选取坐标系，取微小矩形的面积

dA，则

dA=ydx=b

x²dx

a²

微小面积的形心坐标为（x+d2x，y2），由于dx

→0，所以微小矩形的形心坐标可计为（x，y2）。整个图形的面积为

A=∫_AdA=∫a0ab2x²dx=a3b（2）由式（4.3）得形心坐标

图4.3

a

x_C=∫_AxAdA=∫

x

0

b a²

x²dx ab

=34a

3

y_C=∫_A yA2dA=∫

=3

b

10

3

【例4.2】求图4.4所示T字截面图形形心位置，图中尺寸单位为mm。

解：选直角坐标系Oxy，其中y轴为T形截面图形的对称轴，自然有x_C=0。将平面图形分割为两个矩形，它们的面积和形心坐标分别为

A₁=270×50=13500（mm² ），y₁=135（mm）A₂=300×30=9000（mm² ），y₂=-15（mm）

由形心坐标式（4.5）得

y_C=ΣAA_iy_i=A₁y₁ A+A₂y₂ =13500×11335500++90900000×（-15）=75（mm）

图形形心C的坐标为（0，75mm），位置如图4.4所示。

图4.4

图4.5

【例4.3】求图4.5所示槽钢截面图形的形心坐标。

解：选直角坐标系Oxy，其中x轴为槽钢截面图形的对称轴，显然有y_C=0。今将此截面图形看成由两个矩形组成，分别是边长为75mm×210mm的矩形和边长为200mm×70mm的小矩形。因小矩形是大矩形切去的部分，故其面积取负值。两矩形面积和形心坐标分别为

A₁=210×75=15750（mm² ），x₁=37.5（mm）A₂=-200×70=-14000（mm² ），x₂=40（mm）

由形心坐标式（4.5）得

x_C=ΣAAix_i=A₁x₁A+A₂x₂

=15750×37.5+（-14000）×40

=17.5（mm）

15750-14000

图形形心C的坐标为（17.5mm，0），位置如图4.5所示。

思考题

4.1 静矩的概念与力对轴的概念有哪些不同和相似点?

4.2 静矩的几何意义是反映图形的形心相对坐标系的位置和相对坐标轴的远近程度。问图形对其形心轴的静矩为多大?

4.3 为什么截面对其对称轴的静矩为零?

4.4 图示为矩形截面，z为形心轴，问k—k线以上部分和以下部分对z轴的静矩是否相等?

4.5 图（a）所示为一标准的二次曲线与坐标轴围成的图形（曲线顶点A的切线与图形的AO边重合），图（b）所示为一非标准的二次曲线与坐标轴围成的图形（曲线顶点A的切线与图形的AO边不重合）。问图（b）的面积计算公式与形心坐标公式与图（a）的相同吗?

思考题4.4图

思考题4.5图

习题

4.1 求图示平面图形的形心。

习题4.1图

习题4.2图

4.2 求图示平面图形的形心。

4.3 求图示阴影面积的形心位置。4.4 试求图示图形对x轴的静矩。4.5 试求图示阴影部分对x轴的静矩。4.6 求图示平面图形的形心位置。

习题4.3图

习题4.4图

习题4.5图

习题4.6图