第三节　空间力偶

一、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢

空间力偶对刚体的作用效应,可用力偶矩矢来度量,即用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。设有空间力偶(F,F'),其力偶臂为d,如图3-8(a)所示。力偶对空间任一点O的矩矢为MO(F,F'),则有

由于F'=-F,故上式可改写为

计算表明,力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关,以记号M(F,F')或M表示力偶矩矢,则

由于矢M无需确定矢的初端位置,这样的矢量称为自由矢量,如图3-8(b)所示。

总之,空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素:

(1)矢量的模,即力偶矩大小M=Fd=2A△ABC[图3-8(b)]。

(2)矢量的方位与力偶作用面相垂直[图3-8(b)]。

(3)矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺旋法则,如图3-8(c)所示。

二、空间力偶等效定理

由于空间力偶对刚体的作用效果完全由力偶矩矢来确定,而力偶矩矢是自由矢量,因此两个空间力偶不论作用在刚体的什么位置,也不论力的大小、方向及力偶臂的大小,只要力偶矩矢相等,就等效。这就是空间力偶等效定理,即作用在同一刚体上的两个空间力偶,如果其力偶矩矢相等,则它们彼此等效。

这一定理表明:空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果;也可以同时改变力与力偶臂的大小或将力偶在其作用面内任意移转,只要力偶矩矢的大小、方向不变,其作用效果就不变。可见,力偶矩矢是空间力偶作用效果的唯一度量。

三、空间力偶系的合成与平衡条件

任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶,合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和,即

证明:设有矩为M1和M2的两个力偶分别作用在相交的平面Ⅰ和Ⅱ内,如图3-9所示。首先证明它们合成的结果为一力偶。为此,在这两平面的交线上取任意线段AB=d,利用力偶的等效条件,将两力偶各在其作用面内等效移转和变换,使它们具有共同的力偶臂d,令再分别合成A、B两点的汇交力,得FR=F1+F2,由图3-9显见,由此组成一个合力偶它作用在平面Ⅲ内,令其矩为M。由图3-9易得

上式证得:合力偶矩矢等于原有两力偶矩矢的矢量和。

如有n个空间力偶,可逐次合成,则式(3-19)得证。

合力偶矩矢的解析表达式为

将式(3-19)分别向x,y,z轴投影,有

即合力偶矩矢在x,y,z轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和(为便于书写,下标i可略去)。

【例3-3】　工件如图3-10(a)所示,它的四个面上同时钻五个孔,每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x,y,z轴上的投影Mx,My,Mz。

解:将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示,并将它们平行移到点A,如图3-10(b)所示。根据式(3-15),得

由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替,因此,空间力偶系平衡的必要和充分条件是:该力偶系的合力偶矩等于零,亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零,即

欲使式(3-22)成立,必须同时满足

式(3-23)为空间力偶系的平衡方程。即空间力偶系平衡的必要和充分条件为:该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零(为便于书写,下标i可略去)。

上述三个独立的平衡方程可求解三个未知量。

【例3-4】　O1和O2圆盘与水平轴AB固连,O1盘面垂直于z轴,O2盘面垂直于x轴,盘面上分别作用有力偶如图3-11(a)所示。如两盘半径均200mm,F1=3N,F2=5N,AB=800mm,不计构件自重。求轴承A和B处的约束力。

解:取整体为研究对象,由于构件自重不计,主动力为两力偶,由力偶只能由力偶来平衡的性质,轴承A,B处的约束力也应形成力偶。设A,B处的约束力为FAx,FAz,FBx,FBz,方向如图3-11(b)所示,由力偶系的平衡方程,有

解得

【例3-5】　长方体如图3-12所示,其上作用着三个力偶已知求合力偶矩矢。

解:由各力偶的作用可知,各力偶矩矢应沿其作用面的法线方位,这样的方位应与z轴一致,的作用面方位(即力偶矩矢的方位)应垂直于平面ACDE,与x轴正向的夹角为45°;的力偶矩矢的方位应垂直于平面ABDG,与x轴正向的夹角为α3(tanα3=1/2)。

利用合力偶矩矢的投影式有

代入已知数据,得

方向余弦