工作任务二 恒定总流的连续性方程

一、公式推导

水流和其他物质一样，在运动过程中也必然遵守质量守恒定律。

如图2-7所示，在恒定总流中任取一段微小流束为研究对象，设微小流束上游过水断面1—1的面积为dA₁，下游过水断面2—2的面积为dA₂，两个过水断面的流速分别为u₁和u₂。考虑到恒定总流中的流线位置和形状不随时间变化，水流不可能从微小流束的侧壁流入或流出。也就是说，水流只能从两段的过水断面流入或流出，在dt时段内流经过水断面1—1的水流质量应等于流经过水断面2—2的水流质量，即

ρ₁u₁dA₁dt=ρ₂u₂dA₂dt

对于不可压缩液体有ρ₁=ρ₂，上式可简化为：

u₁dA₁=u₂dA₂

或 u₁dA₁=u₂dA₂=dQ=常数

上式即为恒定流微小流束的连续性方程。

因为总流是由无数个微小流束组成的，将微小流束的连续性方程在总流过水断面上积分，便可得到总流的连续性方程，即

设总流过水断面1—1和断面2—2的面积分别为A₁、A₂，断面平均流速分别为v₁、v₂，上式可改写为：

Q=v₁A₁=v₂A₂=常数

上两式即为恒定总流连续性方程。

恒定总流连续性方程表明：恒定流中任意两断面，其过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过水断面面积越大，断面平均流速越小；过水断面面积越小，断面平均流速越大。

需要注意的是，对于沿程有流量汇入或分出的情况，连续性方程在形式上应作相应变化。

当有流量汇入时，如图2-8（a）所示，其连续性方程为：

Q₁+Q₃=Q₂

当有流量分出时，如图2-8（b）所示，其连续性方程为：

Q₁=Q₂+Q₃

二、连续性方程的应用

【例题2-3】有一压力管道，如图2-9所示，已知d₁=300mm，d₂=200mm，d₃=125mm，且第三段管中的平均流速v₃=2m/s。试求管道中的流量Q及第一段、第二段管道中的平均流速v₁和v₂。

解：管道流量Q为：

根据连续性方程有：

则

【例题2-4】如图2-10所示，某主河道的总流量Q₁=1800m³/s，上游两个支流的断面平均流速分别为v₂=0.92m/s、v₃=1.25m/s，若两个支流的过水断面面积之比为A₂：A₃=4：1。试求两个支流的过水断面面积A₂和A₃。

解：根据连续性方程有：

Q₂+Q₃=Q₁

即 v₂A₂+v₃A₃=Q₁

将A₂=4A₃，v₂=0.92m/s，v₃=1.25m/s，Q₁=1800m³/s代入上式，得

A₂=4A₃=4×365.11=1460.45（m²）