2.3 波动方程的解

2.3.1 平面声波

平面声波是最简单的一种波形，通过对它进行分析就可以比较容易地认识声波基本特性。假设在无限均匀介质里有一个无限大平面的刚性物体，沿其法线x方向进行振动，这时产生的声波只沿x方向传播，而在yz平面上所有质点的振幅和相位均相同，这种声波的波阵面是平面，所以称为平面声波。许多具体的波动方程都可以简化为平面声波进行处理。

平面声波的方程是一维波动方程，见式（2-8），这是一个二阶线性偏微分方程，其通解为

式中，f（ct-x）是沿x轴正方向传播的波；g（ct+x）是沿x轴负方向传播的波。f（ct-x）和g（ct+x）的函数形式决定于时间及空间的边界条件，两者的传播速度均为c。在无限介质中，以上两相反方向的波不再相会，为了简明起见，只讨论正向波，即

将式（2-13）代入运动方程式（2-3），积分可得

在式（2-13）及式（2-14）中消去f（ct-x）可得

当被测声源距离L比较远时，通常可认为L>50λ（λ是被测声波的最大波长）是平面声波。

2.3.2 球面声波

当声源是点声源时，声波以点声源为中心向各方向传播，其同相位各质点的瞬时轨迹所组成的波阵面是个球面，故称为球面声波。球面声波也是一种基本的波形。

用球坐标研究球面声波比用直角坐标方便得多。波阵面的法线方向就是声波的传播方向，对球面声波来说就是球坐标中的r方向。因为已设定波的传播方向只在r方向，所以球面波可以简化为一维形式。可将运动方程式（2-3）改写为

物态方程是介质的基本特性，与坐标系无关，故式（2-1）没有更动。将式=c²代入式（2-1）可得

至于连续性方程，由于声波传播过程中波阵面积随r不断改变，因此该方程要有相应改变。

设在r处波阵面的面积为S，则在单位时间内流入该微小体积的质量为ρuS，其中u为质点速度，ρ为介质密度。在同时间内，在r+dr处流出该微小体积的质量为ρuS+，两者之差-_dr就是单位时间内进入该微小体积的净质量。同时该微小体积的质量近似等于 ρSdr，其单位时间内质量的变化为-。显然，单位时间内该体积内质量的变化应等于单位时间内流入该体积的质量，则有

根据式ρ=ρ₀+ρ′，可将式（2-18）简化为

解式（2-16）、式（2-17）及式（2-19），可以得到

式（2-20）是当声波有任意形状的波阵面时，在传播过程中保持形状不变的波动方程。

当是均匀球面波时，其波动方程可改写为

此方程不适用于r=0的原点，其通解为

式中，f（ct-r）是由原点向远处传播的声波；g（ct+ r）是由远处向原点行进的声波。

当是简谐波时，假定声场中某点A的声压为p_A其解为

与平面声波的p（x，t）与u（x，t）的关系式相比，显然球面声波的关系式要复杂些。

在实验室内测量时，由于距离声源比较近，所以应认为是球面声波。本节主要应用球面声波进行研究。