1.2.4　逆矩阵

前面介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，接下来将介绍矩阵的除法运算。在数的运算中有如下定义：当时，如果有，则称为的倒数，也可以称为a的逆，记作。这样，数的除法运算就能够通过乘法实现了，即若是数且，则。

类似地，为了实现方阵的除法运算，我们引入下列概念。

定义1-13　对于n阶矩阵，如果有一个n阶矩阵，使得

则称为可逆的或可逆阵，且把称为的逆矩阵，简称逆阵。

如果不存在满足式（1.3）的矩阵，则称为不可逆的或不可逆阵。

由定义1-13可以看出：可逆阵必为方阵，其逆矩阵为同阶方阵，而且由式（1.3）可知，矩阵的地位对称，也是可逆阵，为的逆矩阵。

在平面解析几何中，存在变量之间的线性变换。在线性代数中，我们将用逆矩阵研究两组变量之间的逆线性变换。

例如：

是从变量到变量的一个线性变换，从中解出，可得到从变量到变量的一个线性变换：

它们的矩阵分别为

不难验证这两个矩阵满足，所以互为逆矩阵。对应地，式（1.4）与式（1.5）对应的变换互为逆变换。

定理1-2　如果矩阵是可逆的，则其逆矩阵是唯一的。

根据上述定理，的逆矩阵记作，总有

例如：因为，所以单位阵是可逆的，且其逆矩阵就是本身，即。

再如，当时，对角矩阵是可逆的，且其逆矩阵是。

在数的运算中，数0是不可逆的，所有非0数均可逆。然而，在矩阵中，尽管零矩阵不可逆，但并非所有非零矩阵均可逆。那么方阵可逆的条件是什么呢？若方阵可逆，如何求呢？接下来，我们将要讨论这些问题。

定义1-14　设为阶方阵，那么行列式中每个元素的代数余子式构成的矩阵

称为矩阵的伴随矩阵。

引例1-1　设为阶方阵，是的伴随矩阵，则

定理1-3　方阵可逆的充分必要条件是，且当可逆时，有

定义1-15　当方阵的行列式时，称为奇异矩阵，否则称其为非奇异矩阵。

由定理1-3可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵，二者是等价的概念。

例1-11　求方阵的逆矩阵。

解：因为，所以存在。

计算代数余子式：

得伴随矩阵，于是。

有了逆矩阵的计算方法，我们就能够求解某些矩阵方程。

例1-12　设矩阵方程，其中，

求未知矩阵。

解：因为，，所以均存在，计算可得，。分别用左乘、右乘方程的左、右两边得

由矩阵乘法的结合律得，即，其中分别是二阶和三阶单位阵，于是有

由定理1-3，还可以得到下述推论。

推论1-1　设与是阶矩阵，如果（或），那么与都可逆，并且。

逆矩阵满足下列运算规律。

性质1-5　若为同阶方阵且均可逆，数，则

（1）也可逆，且，；

（2）也可逆，且；

（3）也可逆，且；

（4）也可逆，且。

推广　若为同阶可逆方阵，则也可逆，且