2.3.1　逆矩阵

以2.2.3节中图2-2-6所示的向量旋转变换为例，矩阵是向量逆时针旋转到的旋转变换，那么，如果从顺时针转到的旋转变换是什么呢？这个变换相对于而言，是逆变换。

是的逆变换，反之亦然。这两个矩阵具有如下特点：

当然，并非所有的线性映射都能如同上面演示的那样，从像通过逆变换到原像。例如2.2.2节中的（2.2.5）式的线性映射，它将三维向量空间的向量映射到了二维向量空间，又如：

其中是三维空间的一个平面，是二维空间的一条线段，如图2-3-1所示，对于这种线性映射，就无法逆回去了，或者即便逆回去，也不是唯一解了。那么，矩阵就不能乘以某个矩阵之后得到一个单位矩阵。

比较和，能够实现逆向变换的矩阵是方阵。这个结论可以推广到的矩阵中，即：

定义　设是的方阵，如果存在矩阵，使得：

其中是单位矩阵，我们就说矩阵是可逆的（或称“非奇异的”，Invertible），称矩阵为的逆矩阵（Inverse Matrix），记作：。

由逆矩阵的定义可知，一个矩阵如果是可逆的，那么它首先要是一个方阵。在我们所学过的各种矩阵中，单位矩阵毫无疑问都是方阵，并且，所以单位矩阵的逆矩阵还是单位矩阵。

如果把单位矩阵经过一次初等行变换之后，会得到初等矩阵，显然行变换是可逆的，所以初等矩阵也是可逆的。例如对实施初等行变换后得到初等矩阵，如果要计算它的逆矩阵，则只要将它变换回单位矩阵，同形状的单位矩阵也同时变换：

在上面的矩阵中，竖线左侧是初等矩阵，右侧是同形状的单位矩阵。如此排列，主要目的是变换方便。这样的矩阵，称为增广矩阵。如果将左侧的初等矩阵变换为单位矩阵，右侧的单位矩阵做同样的变换，那么所得到的矩阵，就是的可逆矩阵。实施变换得：

所以，。

对于任何可逆矩阵，要计算它的逆矩阵，都可以用类似上面的方法。但是，这里要特别说明，用手工方式进行计算，不是本书的重点，致力于机器学习的读者，更要熟练使用Python语言生态系统中的NumPy、Pandas等各种库、模块来解决各种计算问题（参阅：《跟老齐学Python：数据分析》（电子工业出版社））。

下面以显示器上对颜色的表示为例，说明逆矩阵的应用和计算方法。通常可以用三个相对独立的变量来描述颜色，这就构成了一个向量空间，我们称之为颜色空间，比如：

●　RGB：通过Red、Green、Blue三原色来描述颜色的颜色空间。在网页的CSS中设置颜色的时候，常用十六进制的6个数字，如 #336699表示一种颜色，这里的6个数字被分为三组，即(33,66,99)，分别对应红（R）、绿（G）、蓝（B）三种颜色。每种颜色的成分可以用从0到255（十进制）的数表示，0是最低级，255是最高级。此外，还可以用诸如rgb(255,0,0)或rgb(100%,0%,0%)（这两者都表示红色）的形式表示颜色。

●　YIQ：是NTSC制式的模拟彩色电视所使用的颜色空间，Y表示图像的亮度，I、Q是色调的两个分量，I代表从橙色到青色的颜色变化，Q代表从紫色到黄绿色的颜色变化。

●　YUV：是PAL制式的模拟彩色电视所使用的颜色空间，我国的模拟彩色电视机即为PAL制式。Y代表亮度，U、V代表色差，构成彩色的两个分量。YUV颜色空间将Y、U、V分离，如果只有Y分量而没有U、V分量，那么表示的图像就是黑白灰度图像，从而让黑白电视机也能接收彩色电视机的信号。

不同的颜色空间从不同角度描述了颜色，也有不同的特点和用途。比如RGB颜色空间适用于显示色彩，不适用于获取图像，因为三个分量容易受到亮度的影响，特别是在自然环境下，而YUV则对外界干扰有一定的鲁棒性。

正如不同向量空间可以变换，颜色空间都可以表示为向量，它们之间也可以线性映射。下面所表示的就是从RGB变换为YUV的方式：

反过来，通过逆矩阵，可以计算从YUV变换为RGB的关系：

即：

那么，这个逆矩阵是如何计算出来的？刚才已经说了，手工计算逆矩阵不是本书的重点，以下用代码实现：

这里所创建的二维数组表示RGB变换为YUV的矩阵，利用NumPy提供的函数inv()计算其逆矩阵。

对计算结果取3位小数，与前述显示相同。

用手工计算逆矩阵比较烦琐，还是用inv()简单，不过读者要理解逆矩阵的基本含义。

其实，我们很少具体计算某个矩阵的逆矩阵，但是逆矩阵在进行理论推导的时候会经常用到，特别是它的一些运算性质，罗列如下，请读者了解：

性质　矩阵是的可逆矩阵，是非零数：

●　

●　

●　

●　

●　

●　若计算，将其表示为：

●　的各列线性无关

●　是可逆矩阵

●　当且仅当时，可逆

这里所列出的可逆矩阵的性质，有的内容要在后续介绍，比如是什么，看下一节。