1.4　二项式定理

古希腊哲学家从未考虑过四次幂, 因为他们的数学根植于几何学, 而四次幂意味着第四个维度. 但在公元第一个千年结束时, 在中东、印度和中国, 天文学家和哲学家开始使用任意次数的多项式. 大约在公元 1000 年, 在这三个数学传统中几乎同时出现了二项式定理

其中 是如下三角形数阵第 行的第 项.

这个数阵如今被称为杨辉三角, 在欧洲被称为帕斯卡三角(Pascal's triangle)10, 它的每一项都是其肩上的两项之和. 二项式展开最初用于求多项式方程的根11, 但之后在数学里起到了很多重要作用. 特别的是, 二项式定理提供了一种求任意正整数次幂之和的方法.

10布莱兹·帕斯卡在发表于 1665 年的《论算术三角形》(Treatise on the Arithmetical Triangle) 中普及了这个三角数阵, 并将他的名字和它永远地联系在了一起. 他从未声称自己发现了它.

11若已知关于 的多项式在相邻整数 和 处的取值为异号, 则在 和 之间有一个根. 用二项式 代替 , 再用二项式定理展开, 可得一个关于 的多项式, 它在 0 和 10 之间有一个根. 再求出整数 使得关于 的多项式在 和 处的取值为异号, 则 即为所求根的十分位数字. 再用 代替 , 再一次展开, 可得关于 的多项式, 以此求出根的百分位数字. 该操作可不断地继续下去.

哲学家们曾多次观察到杨辉三角的一个性质, 由这个性质可以推导出 次幂求和公式. 在图 1.13 中, 我们可以看到, 如果从杨辉三角最右边缘处任意一个数开始, 沿着从右上方到左下方的斜线将各项相加, 那么无论加到何处为止, 这些数的和都等于所停位置右下方紧邻的数. 不难看出为什么会这样.

图 1.13　从最右侧开始沿从右上方到左下方的斜线将数相加, 结果恒等于相加的最后一项右下方的数

以图 1.13 所示为例,

等于 3 和它右边的 1 相加. 由杨辉三角的构成法则, 等于它们正下方的数 4, 4 位于 6 的右边. 故沿从右上方到左下方的斜线的前三项之和等于第三项 6 与它右边的数 4 的和. 数 6 与数 4 相加, 等于它们正下方的数 10, 而这个 10 恰好位于该斜线上的 10 的右边. 无论我们选择在哪儿停止, 沿该斜线的各项之和, 等于相加的最后一项与其右边的数相加, 结果等于这两个数正下方的数.

该性质最早记录在犹太裔西班牙哲学家埃兹拉 (Rabbi Abraham ben Meir ibn Ezra, 1090—1167) 的占星书中. 它也出现在中国朱世杰 1303 年的手稿《四元玉鉴》和印度那罗延 (Narayana Pandit, 约 1340—1400) 1356 年的《伽尼塔·考穆迪》(Ganita Kaumudi, 意为“数学月光”) 中. 该性质可以表述为如下形式:

在 1.7 节, 我们会看到, 费马将使用该性质求出曲线 下从 0 到 的区域的面积, 这个面积公式在如今写作

其中 是任意正整数.