2.1.2 GAN模型
在对GAN有了一定的基本印象后，我们再用数学完整描述GAN的工作原理。
假设生成器和判别器均为最简单的全连接网络，其参数分别表示为θ和φ，假设训练数据集{x（1），x（2），…，x（N）}独立同分布采样于概率分布pdata（x），生成器生成的样本集
满足的概率分布为pg（x）。
判别器的输入为样本x，输出为0至1之间的概率值p=D(x)，表示样本x来源于训练数据集分布pdata的概率，1-p表示样本x来源于生成样本分布pg的概率。D(x)=1表示样本x完全来源于训练数据集，而D(x)=0表示样本x完全不来源于训练数据集，即完全来源于生成样本分布。注意，实际中的判别器的输出是一个“软”结果，而非之前所述的非真即假的“硬”分类结果，判别器最后一层的激活函数大多使用sigmoid函数。
图2-2 判别器原理
在训练判别器时，我们面对的是一个监督学习的二分类问题：对于训练数据集中的样本，判别器应输出1；而对于生成器生成的样本，判别器应输出0，如图2-2所示。使用二分类交叉熵作为损失函数可得判别器的目标函数为：
在实际训练时，两类样本训练数据为{(x(1),1),(x(2),1),…,(x(N),1),(G(z(1)),0),(G(z(2))),0),…(G(z(N)),0)}，则目标函数为：
在训练生成器时，训练数据为{z(1),z(2),…,z(N)}，如图2-3所示。
图2-3 生成器原理
对于生成器，其目标函数为：
而第一项相对于生成器而言为常数，故可简化为：
实际使用样本训练时，目标函数为：
GAN采用交替训练判别器和生成器的方式进行训练，通常先训练k次判别器，再训练1次生成器，直至目标函数收敛。整个算法流程如下所示。
GAN训练算法
实际上，在训练早期，生成器的生成能力一般比较差，而判别器的判别能力往往比较强，即D(G(z))的值普遍很小，导致生成器的梯度比较小，如图2-4中下面的曲线所示，故有时生成器会使用能在初始时提供较大梯度的目标函数：
我们称之为非饱和形式（上文使用的生成器损失函数称为饱和形式）。根据图2-4在两条曲线上的样本对比可知，非饱和形式目标函数（上面的曲线）在早期能提供更多的梯度。实际使用样本训练时，目标函数为：
图2-4 饱和形式与非饱和形式函数曲线