1.3.1 逻辑代数的基本规则和定律

逻辑代数运算法则

一、基本规则

表1.3.1列出了逻辑代数的基本规则。

表1.3.1中，式1、式2、式11和式12给出了变量与常量间的运算规则。

式3和式13是同一变量的运算规律，也称为重叠律。

式4和式14是变量与它的反变量之间的运算规律，也称为互补律。

式5和式15是交换律，式6和式16是结合律，式7和式17是分配律。

式8和式18是著名的摩根定律，也称为反演律，其实现了与运算和或运算之间的相互转换，常用于逻辑函数的化简与变换。

式9是反原律，也称非非律，表明一个逻辑变量经过两次求反后还原成其本身。

这些公式可以用列真值表的方法加以验证。如果等式成立，那么将任何一组变量的取值代入等式两边所得的结果应该相等，因此等式两边所对应的真值表也必然相等。

【例1.3.1】 用真值表验证表1.3.1中式17。

解：将A、B、C所有可能的取值组合代入式17的左右两边，得到式17的真值表，如表1.3.2所示。

由表1.3.2可知，在每一种取值的情况下，式17两边对应的真值表相同，故等式成立。

二、常用的基本定律

表1.3.3列出了几个常用的基本定律。这些定律都是由表1.3.1中的基本公式推导而来的，可直接用于逻辑函数的化简。

现证明表1.3.3中的基本定律。

式1:A+AB=A

证明：左边=A+AB=A(1+B)=A1=A=右边

结果表明在两个与项相或时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余项，可删除。

式2:

证明：

这一结果表明，两个与项相或时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以删除。

式3:

证明：

上式表明，若两个与项中分别包含A和A两个因子，而这两个与项的其余因子组成第三个与项时，则第三个与项是多余的，可以删除。