1.5 亥姆霍兹定理

真实的场是具有大小和方向的矢量场，如何判定矢量场的场点性质呢？从前面的论述可知，必须从矢量场的散度和旋度来确定，也就是从通量源和旋涡源所产生的无旋场和无散场共同来确定。亥姆霍兹根据大量物理事实，总结出亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯一确定。在有界区域中，还必须同时满足边界上的边界条件。

无旋场是纵场，用Fn表示；无散场是横场，用Ft表示。亥姆霍兹定理的数学表述式为

式中，F为合成场。

无旋场必须同时满足方程

同理，无散场必须同时满足方程

式中，g和G分别表示通量源（如ρ）和旋涡源（如J）。对式（1.56）分别取散度和旋度，由式（1.57），有

显然，矢量场F由g和G产生的无旋场和无散场唯一确定。

若引入标量位Φ和矢量位A来表示矢量场Fn和Ft，则将式（1.51）和▽×Fn=0对比，将式（1.52）和式▽·Ft=0对比，可得

式中已用Φ取代u，负号由物理事实确定，不影响公式的正确性。例如，Fn表示静电场E时，有E=-▽Φ，见图1.24；Ft表示静磁场B时，有B=▽×A。于是，亥姆霍兹定理又可应用位函数表示为

式中，位函数Φ和A用积分形式来表示。

亥姆霍兹定理是矢量场的场点性质的判别准则。从无旋性和无散性可将场分为如下类型：

（1）无散无旋场（▽·F=0，▽×F=0），如无源空间中的静电场；

（2）有散无旋场（▽·F=g，▽×F=0），如有源空间（ρ≠0）中的静电场；

（3）无散有旋场（▽·F=0，▽×F=G），如有源空间（J≠0）中的静磁场；

（4）有散有旋场（▽·F=g，▽×F=G），如有源空间（ρ≠0）和时变磁场中的电场。

显然，在全空间中不可能存在无散无旋场，它只能存在于局部不包含源的区域。

亥姆霍兹定理总结了矢量场的场点性质，是研究电磁场与波的重要基础。分析矢量场的场点性质时，总是首先从研究它的散度和旋度入手，建立矢量场基本方程的微分形式。正如研究矢量场的场域性质时，总是首先从研究它的通量和环量入手，建立矢量场基本方程的积分形式。而基本方程的微分形式和积分形式的转换关系，可以通过高斯定理和斯托克斯定理来完成。