1.1 测量与误差
物理实验是以测量为基础的，实践表明，测量结果都存在误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程中。因为任何测量仪器、测量方法、测量环境、测量者的观察力等等都不能做到严密，这就使测量不可避免地伴随着误差的产生。因此分析测量中可能产生的各种误差，尽可能消除其影响，并对测量结果中可能的误差作出估计，是物理实验和许多科学实验中必不可少的工作。为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因和估计方法等有关知识。
1.1.1 常用误差概念
（1）真值绝对误差δ
被测物理量的客观大小称为真值，记为μ0。用实验手段测量出来的值为测量结果，即测量值，记为xi。测量结果减被测量的真值叫测量误差，简称误差，记为δ，即：
δ=xi-μ0 （1.1.1）
真值是理想概念，一般是不可知的。为了得到测量误差，通常用约定真值（一近似的相对真值）代替真值。在实际运用中，对于单次测量可直接将测量结果当成约定真值，对多次测量将其算术平均值当作最佳估计值，即约定真值。式（1.1.1）表示的误差是测量值与真值的差，又称为绝对误差。绝对误差可以用来比较不同仪器测量同一被测物理量的测量准确度的高低。
（2）相对误差E
测量的绝对误差与真值之比称为测量的相对误差。一般用百分比来表示：
相对误差E可以用来比较不同被测物理量测量准确度的高低，或者说用相对误差能确切地反映测量的效果。被测量的量值大小不同，允许的误差也应有所不同。被测量的量值越小，允许测量的绝对误差也应越小。
（3）偏差Δxi
在多次测量中，测量列内任意一个测量值xi与测量列的算术平均值
的差称为偏差，即：
式中，
。偏差可正可负，可大可小。
（4）标准误差σ
在同一条件下，若对某物理量x进行n次等精度、独立的测量，则测量列中单次测量的标准误差按下式定义：
式中，μ相应于测量次数时测量的平均值。式（1.1.4）是对这一组测量数据可靠性的估计，标准误差小，说明这一组测量的重复性好，精密度高。
（5）标准偏差Sx
在有限的n次测量中，单次测量的标准偏差用Sx表示：
这个公式又称为贝塞尔公式。它表示测量的随机误差，标准偏差小就表示测量值很密集，即测量的精密度高；标准偏差大就表示测量值很分散，即测量的精密度低。
（6）平均值的标准偏差
在同一条件下，若对某物理量x进行n次等精度、独立的测量，在进行有限的n次测量中，可得一最佳估计值
。
也是一个随机变量，它随n的增减而变化，显然它比单次测量值可靠。可证明平均值的标准偏差
与一列测量中单次测量的标准偏差Sx满足如下关系：
（7）仪器误差限Δ仪
任何测量过程都存在测量误差，其中包括仪器误差。仪器误差限或最大允许误差是指在正确使用仪器的条件下，测量结果和被测量的真值之间可能产生的最大误差，用Δ仪表示。对照国际标准及我国制定的相应的计量器具的检定标准和规定。考虑物理实验教学的要求，下面作简略的介绍或约定。
在长度测量类中，最基本的测量工具是直尺，游标卡尺，螺旋测微器。在基础物理实验中，除具体实验另有说明外（如游标卡尺、螺旋测微器），我们约定：这些测长度工具的仪器误差限按其最小分度值的一半估算。
在质量测量类中，主要工具是天平。天平的测量误差应包括示值变动性误差、分度值误差和砝码误差等。单杠杆天平按精度分为十级，砝码的精度分为五等，一定精度级别的天平要配用等级相当的砝码。在简单实验中，我们约定：取天平的最小分度值作为仪器误差限。
在时间测量类中，停表是物理实验中常用的计时仪表。在本课程中，对较短时间的测量，我们约定：取停表的最小分度值作为仪器误差限。对石英电子秒表，其最大偏差Δ仪≤±(5.8×10-6t+0.01)s，其中t是时间的测量值。
在温度测量类中，常用的测量仪器包括水银温度计、热电偶和电阻温度计等。在本课程中，我们约定：水银温度计的仪器误差限按其最小分度值的一半估算。
在电学测量类中，电学仪器按国家标准大多是根据准确度大小划分其等级，其基本误差限可通过准确度等级的有关公式给出。
对电磁仪表，如指针式电流、电压表：
Δ仪=α％×Am （1.1.7）
式中，Am是电表的量程；α是以百分数表示的准确度等级，电表精度分为5.0，2.5，1.5，1.0，0.5，0.2，0.1七个级别。
对直流电阻器（包括标准电阻、电阻箱），准确度等级分为0.0005，0.001，0.002，0.005，0.01，0.02，0.05，0.1，0.2，0.5等级别。实验室使用的电阻箱，其优点是阻值可调，但接触电阻和接触电阻的变化要比固定的标准电阻大。一般按不同度盘分别给出准确度级别，同时给出残余电阻（即各度盘开关取零时，连接点的电阻）值。仪器误差限按不同度盘允许误差限之和加上残余电阻来估算，即：
Δ仪=∑αi％Ri+R0 （1.1.8）
式中，R0是残余电阻；Ri是第i个度盘的示值，αi是相应电阻的准确度级别。对于ZX21型0.1级电阻箱，我们约定R0=0.005(N+ 1)，式中N是实际所用十进制电阻盘的个数，并且各度盘的准确度等级都取为0.1，则其允许误差限为：
Δ仪=αi％·R+R0=0.1％·R+0.005(N+1) （1.1.9）
式中，R是各度盘电阻值之和。考虑残余电阻R0很小，可以舍去，因此我们直接取：
Δ仪=αi％·R （1.1.10）
仪器的标准误差用Δ仪表示，它与误差分布有关。
1.1.2 测量误差的分类
测量中的误差主要分为两种类型，即系统误差和随机误差。它们的性质不同，需分别处理。
（1）系统误差
系统误差是指在重复测量条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。系统误差按其来源可分为仪器误差、调整误差、环境误差、理论误差、人员误差等。系统误差按其规律又可分为恒定的系统误差、线性误差、周期性系统误差等。
由于系统误差服从确定性规律，在相同条件下，这一规律可重复地表现出来，因而原则上可用函数的解析式、曲线或图表来对它进行描述。系统误差虽有确定的规律，但这一规律并不一定确知；按照对其测量误差的符号和大小可以确定和不能确定，可将系统误差分为已知的系统误差（已定系统误差）和未知的系统误差（未定系统误差）。已定系统误差可通过修正的方法从测量结果中消除；未定系统误差一般只能估计出它的限值或分布范围，它与后述不确定度B类分量有大致的对应关系。
（2）随机误差
随机误差定义为：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。即随机误差是以不可预知的方式变化的测量误差。在少量测量数据中，它的取值不具有规律性，但在大量的测量数据中表现出统计规律，我们要用统计理论给予解释。
（3）系统误差与随机误差的关系
系统误差和随机误差虽是两个截然不同的概念，但在任何一测量中，误差既不会是单纯的系统误差，也不会是单纯的随机误差，而是两者兼而有之，并且两种误差之间没有严格的分界线。在实际测量中有许多误差是无法准确判断其属性的，并且在一定的条件下，随机误差的一部分可转化为系统误差。
1.1.3 精密度、准确度、精确度
（1）精密度
表示测量数据集中的程度。它反映随机误差的大小，与系统误差无关。测量精密度高，则数据集中，随机误差小。
（2）准确度
表示测量值与真值符合的程度。它反映系统误差的大小，与随机误差无关。测量准确度高，则平均值对真值的偏离小，系统误差小。
（3）精确度
对测量数据的精密度与准确度的综合评定。它反映随机误差和系统误差合成的大小，即综合误差的大小。测量的精确度高，说明测量数据不仅比较集中而且接近真值。
我们用打靶时子弹着弹点的分布图说明上述三个名词的含义。图1.1.1（a）表示精密度高而准确度低；图1.1.1（b）表示准确度高而精密度低；图1.1.1（c）表示精密度和准确度都高，即精确度高。
图1.1.1 子弹着弹点的分布说明精密度、准确度、精确度
等精度测量是指在测量条件相同的情况下进行的一系列测量。例如，由同一人在相同的环境下，在同一仪器上用同样的测量方法，对同一被测物理量进行多次测量，每次测量的可靠性相同，这种测量就是等精度测量。在对同一物理量进行多次测量中，若改变测量条件，则测量结果的精确度会不相同，称为不等精度测量。我们的实验一般都采用等精度测量。本讲义也只介绍等精度测量的数据处理方法。
1.1.4 误差分布
在测量过程中，由于误差的来源不同，它们所服从的规律也不相同。常见的随机误差分布有：二项式分布、正态分布、双截尾正态分布、泊松分布、χ2分布、F分布、t分布、均匀分布等。我们介绍两种典型的分布。
（1）正态分布
在等精度测量中，大多数情况下的测量值及其随机误差都服从正态分布。正态分布又叫高斯分布，标准的正态分布曲线如图1.1.2所示，它满足如下的概率密度分布函数：
图1.1.2 正态分布
式中，x为测量值；σ为测量值的标准偏差；而μ表示当测量次数无限多时的算术平均值（真值的最佳估计值）。
从曲线可以看出被测量值在x=μ处的概率密度最大，曲线峰值处的横坐标相应于测量次数n→∞时被测量的平均值μ。横坐标上任一点到μ值的距离（x-μ）即为与测量值x相应的随机误差分量。随机误差小的概率大，随机误差大的概率小。σ为曲线上拐点处的横坐标与μ值之差，它是表征测量值分散性的重要参数，称为正态分布的标准偏差。这条曲线是概率分布曲线，当曲线和x轴之间的总面积定为1时，其中介于横坐标上任何两点的某一部分面积可用来表示随机误差在相应范围内的概率。如图中阴影部分μ-σ到μ+σ之间的面积就是随机误差在±σ范围内的概率（置信概率），即测量值落在（μ-σ，μ+σ）区间中的概率，由定积分可计算得其值为P=68.3％。如将区间扩大到-2σ到+2σ，则x落在（μ-2σ，μ+2σ）区间中的概率就提高到95.4％；x落在（μ-3σ，μ+3σ）区间中的概率为99.7％。
从分布曲线还可以看出：在多次测量时，正负随机误差经常可以大致相消，因而用多次测量的算术平均值表示测量结果可以减小误差的影响；测量值的分散程度直接体现随机误差的大小，测量值越分散，测量的随机误差就越大。因此，必须对测量的随机误差作出估计才能表示出测量的精密度。
（2）均匀分布
测量误差服从均匀分布是指在测量值的某一范围内，测量结果取任一可能值的概率相等；或在某一误差范围内，各误差值出现的概率相等。服从均匀分布的误差的概率密度函数为：
分布曲线如图1.1.3所示，在［-Δ仪，+Δ仪］范围内，各误差值出现的概率相同，区间外出现的概率为0。
图1.1.3 均匀分布
均匀分布的平均值、标准误差、标准偏差及平均值的标准偏差的计算方法与正态分布相同。
随机误差服从均匀分布的例子有：由仪表分辨力限制所产生的示值误差，因为在分辨力范围内的所有测量参数值出现的概率相同；对于数字式仪表，由最小计量单位限制引起的误差（截尾误差）；在对测量数据的处理中，修约引起的误差；指示仪表调零不准所产生的误差；数学用表的数据位数限制所产生的误差等。