1.2　不确定度和测量结果的表示

根据国际标准化组织等7个国际组织联合发表的《测量不确定度表示指南ISO 1993（E）》的精神和我国国家标准计量局作出的实验不确定度的规定建议书，实验测量的不确定度表示方法被广泛用于对各类测量结果的评价。因此我们普通物理实验的测量结果也应该用不确定度来表示。

1.2.1　不确定度

（1）不确定度的定义

测量不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度，它是测量质量的表述。测量不确定度是与测量结果相联系的一个参数，用于表征合理赋予被测量值的分散性。它不同于测量误差，测量误差是被测量的真值与测量量值之差，而不确定度则是误差可能数值（或数值可能范围）的测度。

在物理实验中进行着大量的测量，测量结果的质量如何，要用不确定度来说明。在相同置信概率的条件下，不确定度越小，其测量质量越高，使用价值也越高；反之，不确定度越大，其测量质量越低，使用价值也越低。

（2）不确定度的分类

测量不确定度的大小表征测量结果的可信程度。按其数值的来源和评定方法，不确定度可分为统计不确定度和非统计不确定度两类分量。

①A类不确定度分量u_A

由观测到的统计分析评定的不确定度，也称统计不确定度，该分量用符号u_A表示。在大多数情况下，我们遇到的实际测量问题都服从正态分布，由于一般只能进行有限次测量，这时测量误差只能用t分布（又称学生分布）的规律来估计。这种情况下，对测量误差的估计，就要在贝塞尔公式（1.1.5）的基础上再乘以一个因子。在相同条件下对同一被测量作n次测量，若只计算不确定度u的A类分量u_A，那么它等于测量值的标准偏差S_x乘以因子，即：

式中，t_p是与测量次数n、置信概率p有关的量。概率p及测量次数n确定后，t_p也就确定了，因子t_p的值可以从专门的数据表中查得。当p=0.95时，的部分数据可以从下表中查得。

普物实验测量次数n一般小于10。从该表知，当5<n<10时，因子近似取为1，误差并不很大。这时式（1.2.1）可简化为：

u_A=S_x　　（1.2.2）

有关的计算还表明，在5<n≤10时，作u_A=S_x近似，置信概率近似为0.95或更大。所以我们可以这样简化：直接把S_x的值当作测量结果的A类不确定度分量u_A。当然，测量次数n不在上述范围或要求误差估计比较精确时，要从有关数据表中查出相应的因子t_p/的值。

②B类不确定度分量

B类不确定度分量u_B是指由非统计方法估计出的不确定度。它主要由仪器误差引起的，与仪器的误差限有关。实验室常用仪器的误差或误差限值，是生产厂家参照国家标准规定的计量仪表、器具的准确度等级或允许误差范围给出，或由实验室结合具体测量方法和条件简化而约定的，用Δ_仪表示。B类不确定度分量表示为：

式中，k_p为一定置信概率下相应分布的置信因子；C为相应的置信系数。C值因误差分布不同而异。对于正态分布C=3；对于均匀分布。置信概率为0.68时，k_p=1；置信概率为0.95时，k_p=1.96；置信概率为0.99时，k_p=3。在物理实验中，一般取置信概率为0.95，因此从简约和实用出发，我们统一规定取，k_p=1.96。则：

（3）不确定度的合成

置信概率为0.68时的不确定度为标准不确定度，其他置信概率对应的不确定度称为扩展不确定度，也称为总不确定度。不确定度u包含两类分量u_A和u_B，因此扩展不确定度应由这两类分量合成，满足如下公式：

由公式（1.2.1）和式（1.2.4）得：

当测量次数n符合5<n<10条件时，上式可简化为：

式（1.2.7）是今后实验中估算不确定度经常要用的公式，希望能够记住。

1.2.2　测量结果的评价

（1）测量结果的表达形式

完整的测量结果应给出被测量的量值x₀（多次测量时用x），同时还要标出测量的不确定度u和单位。写成：

x=x₀±u（SI）　　（1.2.8）

它表示测量的真值在区间（x₀-u；x₀+u）的可能性很大，或者说该区间以一定的置信概率包含真值。

（2）直接测量结果的评价

在相同条件下对被测量作多次直接测量时，其随机误差用式（1.1.5）来计算，原则上我们应该用式（1.2.7）来计算总不确定度。如果因为，或因估计出的u_A对实验最后结果的影响甚小，则可简单地用u_B表示总不确定度u。对于单次测量，不确定度A类分量虽然存在，但不能用式（1.1.5）来表示，它的值比Δ_仪小很多。因此，我们不考虑A类分量，只考虑B类分量。当实验中只要求测量一次时，u取u_B的值并不说明只测一次比测多次时u的值小，只说明用u_B和用估算出的结果相差不大，或者说明整个实验中对该被测量u的估算要求能够放宽或必须放宽。测量次数n增加时，用式（1.2.7）估算出的u虽然一般变化不大，但真值落在x₀±u范围内的概率却更接近100％。这说明n增加时真值所处的量值范围实际上更小，因而测量结果更准确了。

例1　用游标卡尺测长度。

为单次测量，因此不计u_A，而游标卡尺的仪器误差限是其最小分度值（Δ_仪=0.02mm），误差服从均匀分布，在置信概率为0.95的条件下，有：

u=u_B=Δ_仪=0.02mm

例2　用毫米尺测长度。

用毫米尺测量时，其误差主要来源于尺刻度的不准和读数不准。取Δ_仪=0.5mm，则：

u_B=Δ_仪=0.5mm

例3　用天平测物体的质量。

用天平测质量时，天平的最小分度值（若为0.05g）作为仪器误差限Δ_仪，则：

u_B=Δ_仪=0.05g

例4　时间的测量。

用秒表测量时间时，不确定度由操作误差和秒表本身的误差构成。对于后者，若取Δ_仪=0.1s，则：

u_B=Δ_仪=0.1s

用光电计时器（毫秒计）测量时，其误差服从均匀分布，仪器误差限Δ_仪=0.001s，则：

u_B=Δ_仪=0.001s

例5　用安培表测电流。

磁电式仪表的测量误差主要是由电表结构上的缺陷造成的，其测量误差取决于电表的准确度等级α和使用的量程A_m。其误差分布较复杂，对于单次测量不考虑u_A，则u=Δ_仪=A_mα％。例如电路中电流值约为2.5A时，分别用量程为3A和30A、准确度等级均为0.5级的电流表进行测量，则电表不准对应的不确定度分别为：

u=3×0.5％=0.015（A）

u₀=30×0.5％=0.15（A）

由此可知，量程越大不确定度越高，不确定度与待测量值的大小无关，不随电表的示值而变。正因为如此，在实验中选择电表时，不仅要考虑电表的准确度等级，还要考虑量程的大小。测量时，一般应使示值接近量程的2/3。

（3）间接测量结果的评价

间接测量是指被测量不是直接测得，而是通过被测量与直接测量值之间的函数关系间接获得。这样一来，直接测量结果的不确定度就必然影响到间接测量结果，这种影响的大小由相应的数学式计算出来。设间接测量所用的数学式可以表述为如下的函数形式：

φ=F（x，y，z，…）

式中，φ是间接测量结果；x，y，z，…是直接测量结果，它们是互相独立的量。设x，y，z，…的不确定度分别为u_x，u_y，u_z，…，它们必然影响测量结果，使φ值也有相应的不确定度u。由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同。不同之处是：要用不确定度u_x等替代微分dx等；要考虑到不确定度合成的统计性质，一般是用“方、和、根”的方式进行。

上两式称为间接测量不确定度的传播公式。式（1.2.9）适用于和差形式的函数，式（1.2.10）适用于积商形式的函数。实际使用时要注意各直接测量值的不确定度应有相同的置信概率，并且一般只取一位有效数字。

例6　已知金属环的外径D₂=（3.600±0.004）cm，内径D₁=（2.880±0.004）cm，高h=（2.575 ± 0.004）cm，求环的体积V及其不确定度u_V。

解　环的体积为：

环体积的对数及其偏导数为：

代入积商形式的合成公式（1.2.10），则有：

因此环体积为：

V=（9.44 ± 0.08）cm³