第一节 基本立体的三视图
基本立体根据其表面的几何性质可分为平面立体和曲面立体两类。
一、平面立体的三视图
表面都是由平面围成的立体，称为平面立体，如棱柱、棱锥等。
1.棱柱
（1） 棱柱的三视图 棱柱的表面由多个棱面和上、下两个底面组成，两相邻棱面的交线称为棱线，各棱线相互平行。当棱线与底面垂直时，称为直棱柱；倾斜时称为斜棱柱；当直棱柱的上、下底面为正多边形时，称为正棱柱。
为便于画图和看图，常使棱柱的主要表面处于与投影面平行或垂直的位置。如图3-1（a）所示，其上、下底面平行于H面，在俯视图上反映实形，前、后棱面在主视图上反映实形， 6个棱面在俯视图上积聚成直线并与六边形的边重合， 六棱柱的6条棱线其水平投影积聚在六边形的6个顶点上。
图3-1 正六棱柱的三视图与表面上的点
画棱柱的三视图时，一般先画反映实形的底面的投影，然后再画棱面的投影，并判断可见性。正六棱柱的画图步骤如下。
1） 画对称中心线。
2） 画出反映上、下两个底面实形（正六边形）的水平投影。
3） 根据棱柱的高度按三视图的投影关系画出其余两视图，如图3-1（b）所示。
（2） 棱柱表面上的点 平面立体表面上取点首先要根据点的投影位置和可见性确定点在哪个面上。对于特殊位置平面上点的投影，可以利用平面的积聚性求出。对于一般位置平面上的点则用辅助线的方法求出。
【例3-1】 如图3-1（b）所示，已知正六棱柱表面上点M的正面投影m'，求其另两个投影并判断可见性。
分析：由图3-1可知，由于m'可见，点M在左前棱面上，该棱面水平投影有积聚性，因此点M的水平投影m可利用“长对正”直接求出，由m和m'利用“高平齐”“宽相等”即可求出m″。
棱柱处于不同位置，其三视图也不同。在识图的过程中，应多看、多画其三视图，熟记其形体特征。图3-2为常见不同位置的棱柱体及其三视图。画棱柱体的三视图时，应先画多边形，然后再画其他两面投影。
图3-2 不同位置的棱柱体及其三视图
2.棱锥
（1）棱锥的三视图 棱锥的表面由底面和多个棱面组成，各条棱线汇交于一点（锥顶），各棱面都是三角形，底面为多边形。正棱锥的底面是正多边形，侧面为等腰三角形。
如图3-3（a）所示为一正三棱锥，它的底面为一正三角形ABC，三个棱面都是等腰三角形△SBC、△SAB和△SAC。底面在俯视图上反映实形，正面、侧面投影均积聚为直线段；棱面△SAC左视图上积聚成直线；其余两棱面三面投影都是类似形。
画棱锥的三视图时，先画底面和顶点的投影，然后再画出各棱线的投影，并判断可见性，如图3-3（b）所示。
图3-3 三棱锥的三视图及表面点的投影
（2） 棱锥表面上的点 正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置平面上的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图；一般位置平面上的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。现举例说明。
【例3-2】 如图3-3所示，已知三棱锥表面上点M、N的正面投影，求作M、N的其余两投影。
分析：由于n'不可见，可知点N在棱面△SAC上，且平面SAC的侧面投影有积聚性，可利用积聚性求n″，再由n'和n″求出n。点M处在△SAB棱面上，为一般位置平面，需要通过在平面上作辅助线的方法，求出点M的其余两投影。
作图：
1）过n'利用“高平齐”作投影连线求得n″，利用45°辅助线由n'和n″求得n。
2）过点M作辅助线SK，即连s'k'交于底边a'b'于k'，并求得sk，由m'作投影连线交sk上得m，由m'和m求得m″。
3）判断可见性，△SAC水平投影可见，侧面投影有积聚性，所以n和n″均可见。棱面△SAB的三投影均可见，因此点M的三面投影也都可见。
如图3-4为常见的正棱锥体及其三视图。由图中可看出：正棱锥体是由一个正多边形底面和若干个具有公共顶点的等腰三角形侧面构成。三视图的特征是：一个视图的外形轮廓为正多边形，其他两视图的轮廓均为三角形线框。
图3-4 正棱锥体及其三视图
棱锥体被平行于底面的平面截去上部，所剩部分叫棱锥台，简称棱台，如图3-5所示。
图3-5 棱台及其三视图
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二、曲面立体的三视图
曲面立体是表面全部由曲面或者曲面和平面围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等，常见曲面立体也称为回转体。曲面立体是由一条母线绕一条固定的轴线旋转一周形成的曲面，母线在回转面上的任意位置称为素线。
1.圆柱
（1）圆柱的形成 圆柱由上下底面及圆柱面组成。圆柱面可看成是母线绕与其平行的轴线旋转而成。
（2）圆柱的三视图 当圆柱的轴线垂直于H面时，圆柱面的俯视图积聚在圆周上。圆柱面在主视图中的轮廓线是圆柱面上最左、最右两条素线的投影，在左视图中的轮廓线是圆柱面上最前、最后两条素线的投影。圆柱体的上下底面俯视图为圆（实形），主、左视图积聚为直线。由此可见：圆柱的主、左视图为大小相同的矩形，俯视图为圆，如图3-6所示。
图3-6 圆柱体的三视图与表面上的点
画图时，先画中心线，再画积聚性投影圆，最后画其余两视图。画图步骤如下。
1） 画基准线，即画俯视图的中心线及轴线的正面和侧面投影。
2） 画出投影为圆的俯视图。
3） 根据圆柱体的高画出另两个视图如图3-6（b）所示。
（3） 圆柱表面上取点 由于圆柱面投影有积聚性，可利用积聚性作图。
【例3-3】 如图3-6（b）所示，已知圆柱面上点M、N的正面投影m'和n'，求水平投影和侧面投影。
分析：由于圆柱面的水平投影有积聚性，所以圆柱面上两点M、N的水平投影也在该圆上，可直接求出m、n，由m'、n'和m、n可求出m″、n″。作图步骤同六棱柱表面点的投影。
2.圆锥
（1）圆锥的形成 圆锥体由圆锥面与底平面组成。圆锥面可看成是由一条母线绕与它相交的轴线回转而成。圆锥面上过锥顶S的任一直线称为素线。
（2）圆锥的三视图 如图3-7（a）所示，当圆锥的轴线垂直于水平投影面时，圆锥的俯视图是圆。主视图为一等腰三角形，三角形的底边是圆锥底平面的积聚投影，两腰是圆锥面上最左、最右两条素线的投影。左视图也是等腰三角形，三角形的底边是圆锥底平面的积聚投影，两腰是圆锥面上最前和最后两素线的投影。
图3-7 圆锥体的三视图
画图时，应先画中心线和轴线，再画投影为圆的视图，最后画锥顶和轮廓线的投影，画图步骤如下。
1） 画俯视图的中心线及轴线的正面和侧面投影。
2） 画投影为圆的俯视图。
3） 根据圆锥体的高画出另两个视图，如图3-7（b）所示。
（3） 圆锥表面上取点 由于圆锥面投影无积聚性，所以求圆锥表面上的点可用辅助素线法和辅助圆法。
【例3-4】 如图3-8（a）所示，已知点M的正面投影m'和点N的水平投影n，求M、N两点的其余两投影。
分析：由于圆锥的三面视图均无积聚性，所以圆锥面上求点方法必须用辅助素线法和辅助圆法，求出辅助素线或辅助圆的三面投影，然后在线或圆上确定点的投影。作图步骤如图3-8（b）所示。
图3-8 圆锥体表面上的点
方法一：用辅助素线法求解。先过m'与锥顶s'作辅助素线s'l'，求出sl，再利用直线上点的从属性求出m，由m'、m可求出m″。
方法二：用辅助圆法求解。过n作辅助圆的水平投影，此水平圆与圆锥底平面圆同心。其正面投影和侧面投影为垂直于轴线的直线，长度为水平圆的直径，n'、n″在此线上。
可见性判断：由于点M在左前圆锥面上，所以三面投影均可见；点N在右前圆锥面上，所以n″不可见。
圆锥体被平行于其底面的平面截去其上部，剩余部分叫圆台，如图3-9所示。
图3-9 圆台及其三视图
3.圆球
（1）圆球的形成 圆球是球面围成的实体。球面可以看成是由一个圆母线绕其自身的直径即轴线旋转而成。
（2）圆球的三视图 圆球从任意方向投影都是圆，因此其三面投影都是直径相同的圆。3个圆分别是球面在3个投影方向上转向轮廓素线圆A、B、C的投影，如图3-10所示。A在主视图中是a'，它是前后半球可见与不可见的分界圆，在俯视图和左视图中都积聚成直线a和a″，并与中心线重合；同理，B在俯视图上反映为b，是上下半球可见和不可见的分界圆；C在左视图上反映为c″，它是左右半球可见与不可见的分界圆。
图3-10 圆球的三视图
画圆球的三视图时，先画中心线，再画圆球的轮廓线并加深，画图步骤如下。
1） 画三个视图的中心线。
2） 画出三个直径等于圆球直径的圆。
（3） 圆球表面上的点 可以用辅助圆法来确定圆球面上的点的投影。圆球面的辅助圆可以是平行于V面、H面或W面的圆。当点处于圆球的最大圆上时，可以直接求出点的投影。