第二节 截交线
如图3-11（a）所示，当立体被平面P所截时，该平面P称为截平面。它与立体表面的交线称为截交线。
截交线的形状取决于立体的形状及截平面与立体的相对位置。截交线具有下列性质。
（1） 封闭性 由于立体表面是封闭的，因此截交线一般是封闭的平面图形。
（2） 共有性 截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面和立体表面的共有点。
由截交线的性质可知，求截交线实质上是求截平面与立体表面上的一系列交点，并顺次相连，即得截交线的投影。
一、平面与平面立体相交
平面与平面立体相交，其截交线是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的各条边是截平面与平面立体各表面的交线，多边形的顶点是平面立体的各棱线与截平面的交点。因此，作平面立体的截交线，就是求出截平面与平面立体各棱线的交点，然后依次连接各点同面投影，并判断其可见性即得截交线的投影。扫描二维码可观看相关视频。
【例3-5】 如图3-11（a）所示，已知正六棱锥被平面P截切，求其俯、左视图投影。
图3-11 正六棱锥被截切的画法
分析：由于截平面与正六棱锥的6个棱面相交，所以截交线是六边形，六边形的顶点是正六棱锥的6条棱线与截平面的交点。截交线的正面投影积聚在PV上，水平投影与侧面投影为六边形的类似形。
作图：
1） 先画出没有截切的正六棱锥的三视图。
2） 求出截平面与各条棱线交点的正面投影a'、b'、c'、d'、e'、f'，如图3-11（b）所示。
3） 根据直线上点的投影特性，求出各定点的水平投影和侧面投影a、b、c、d、e、f及a″、b″、c″、d″、e″、f″，如图3-11（c）所示。
4） 依次连接各交点即得截交线的水平投影和侧面投影，如图3-10（d）所示。此外，还应考虑形体其他轮廓的可见性问题，如图3-11（d）中a″d″不可见，改为虚线。
【例3-6】 图3-12（a）为正六棱柱被正垂面P截切，补画截切后的三视图。
图3-12 正六棱柱被截切的画法
分析：由于截平面与正六棱柱的6个棱面相交，所以截交线是六边形，六边形的顶点是正六棱柱的6条棱线与截平面的交点。截交线的正面投影积聚在PV上，水平投影与正六棱柱的投影重合，侧面投影为六边形的类似形。
作图：
1） 先画出没有截切的正六棱柱的左视图，如图3-12（b）所示。
2） 根据截平面与各条棱线交点的正面投影a'、b'、c'、d'、e'、f'和水平投影a、b、c、d、e、f， 根据直线上点的投影特性，求出各定点的侧面投影a″、b″、c″、d″、e″、f″，如图3-12（c）所示。
3） 依次连接a″、b″、c″、d″、e″、f″、a″，判断轮廓其他形体可见性，擦去多余的线，作图结果如图3-12（d）所示。
二、平面与回转立体相交
平面与回转立体相交，截交线是一条封闭的平面曲线，或由平面曲线和直线或完全由直线所组成的平面图形。
求平面与回转立体截交线的作图步骤如下。
1） 根据平面与回转面的相对位置，分析截交线的形状及其在投影面上的投影特点。
2） 求共有点。先求出特殊点（即确定截交线范围的最高、最低、最前、最后、最左和最右点），后求一般点（前面介绍的立体表面上取点方法）。
3） 判断可见性，依次光滑连接各点的同面投影，并补全回转面轮廓线的投影。
下面分别介绍平面与圆柱、圆锥、圆球回转体表面相交截交线的画法。
1.平面与圆柱相交
由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，所以圆柱的截交线有3种形状，见表3-1。
表3-1 圆柱的截交线
圆柱的截交线求法：圆柱的投影有积聚性，可利用积聚性求出截交线的投影。表3-1中前2种的情况，直接按截平面的位置找好投影关系即可得到截交线。第3种情况的截交线是椭圆，椭圆的形状和大小随截平面对圆柱轴线的倾斜程度不同而变化，但长短轴中总有一轴与圆柱的直径相等。因此，需先找出系列的特殊点，即截交线上极限位置点、截交线的特征点和回转轮廓线上的点等。再找出一般点，最后光滑连接这些点即得到截交线。
【例3-7】 如图3-13（a）所示，求圆柱被正垂面斜切的截交线。
图3-13 圆柱被截平面斜切
分析：截平面为正垂面斜切圆柱，因此截交线是椭圆。椭圆的正面投影有积聚性，水平投影与圆柱面的投影重合为圆，侧面投影为椭圆。根据投影规律，可由正面投影和水平投影求出侧面投影。
作图如图3-13（b）所示。
1） 先求出截交线上的特殊位置点，即首先求长、短轴的4个端点的投影。分别是最低点和最高点、最前点和最后点。也在圆柱的最左、最右、最前和最后素线上。根据水平投影1、3、5、7和正面投影1'、3'、5'、7'可求出侧面投影1″、3″、5″、7″。
2）再求截交线上的一般位置点。在截交线上任取一般点，根据水平投影2、4、6、8和正面投影2'、4'、6'、8'，可求出侧面投影2″、4″、6″、8″。
3） 最后依次光滑连接各点，即可得到截交线的侧面投影， 见图3-13（c）。
【例3-8】 如图3-14所示，画被切圆柱的三视图。
图3-14 被切圆柱三视图的画法
分析： 该圆柱的上端切口由左、右两个平行于圆柱轴线的对称的侧平面及两个垂直于圆柱轴线的水平面截切而成。其下端开槽是用前、后两个平行于圆柱轴线的对称的正平面及一个垂直于圆柱轴线的水平面截切而成。侧平面、正平面与圆柱表面的截交线都为直线，水平面与圆柱表面的截交线都为圆弧，由于它们都分别垂直于相应的投影面，因此，圆柱上部切口和下部开槽部分截交线的投影均可用积聚性法求出。
作图（见图3-14b）：
1）先画出完整圆柱的三视图。
2）画上端切口部分。由于截平面分别为侧平面和水平面，圆柱截交线的正面投影都有积聚性，侧平面的水平投影也有积聚性，故应按切口部位的尺寸依次画出正面投影和水平投影，再根据这两面投影求出截交线的侧面投影a″b″c″d″a″。
3）画下端开槽部分。
作图时应注意两点：①因圆柱最左、最右素线在开槽部位均被切去一段，故主视图的外形轮廓线在开槽部位向内“收缩”，其收缩程度与槽宽有关。②注意区分槽底正面投影的可见性——弓形面的投影是可见的，画成粗实线；中间部分（e'→f'）是不可见的，画成细虚线。
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2.平面与圆锥相交
由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有5种不同的形状，见表3-2。
表3-2 圆锥体截交线
3.平面与圆球相交
圆球被任意平面截切，得到的截交线都是圆。当截平面是投影面平行面时，截交线在所平行的投影面上的投影是一个圆，其他两面的投影均为直线；当截平面是投影面垂直面时，截交线在所垂直的投影面上积聚为直线，其他两面的投影为椭圆。图3-15是球被水平面截切的求解过程。
图3-15 圆球被水平面截切的截交线
【例3-9】 如图3-16（a）所示，已知一开槽半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。
图3-16 半圆球开槽的视图画法
分析：半圆球开槽是由两侧平面与一水平面截切而成的。侧平面与半圆球的截交线在左视图上的投影是圆的一部分，在俯视图上的投影积聚为直线；水平面与半圆球的截交线在俯视图上的投影是圆的一部分，在左视图上的投影积聚为直线；在左视图上有部分为不可见。
注意：左视图中半球的轮廓线在开槽处被截切。
作图：
1） 求出水平面与球面的交线。交线的水平投影为圆弧，侧面投影为直线，如图3-16（b）所示。
2） 求侧平面与球面的交线。交线的侧面投影为圆弧，水平投影为直线，如图3-16（c）所示。
3） 补全半圆球轮廓线的侧面投影，并做出两截平面的交线的侧面投影（为虚线），完成全图。