1.3　有效数字及其运算规则

1.3.1　有效数字的概念

在任何实验中，只要是用仪器测量的数据总是存在误差的，准确度是有限的，只能以一定的近似值来表示。这个近似值不仅表达测量值的大小，而且反映测量的准确程度。在测定实验数据时，应保留多少位数？计算结果应保留几位数字？才能正确地反映出测量的准确度，要正确地解决这些问题，必须了解有效数字的概念。

有效数字（significant figure）就是一种既能表达数值大小，又能表明测量值准确程度的数字表示方法。具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。所谓能够测量到的数值包括了最后一位估计的、不确定的数字。通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字或者不可靠数字。有效数字包括测量结果中全部准确数和一位存疑数字，存疑数字的误差为±1。例如，用一测量误差为±0.01℃的温度计测量某溶液的温度，温度计水银柱的液面停留在65.5～65.6℃之间无刻度部分的中间位置（见图1-2），则该溶液温度测量数据可以记录为65.55℃。该数据中前三位数65.5是可以从温度计上准确读取的，是准确数字，末尾的5是根据水银柱液面停留的位置估计的，是存疑数字。因此，65.55℃就是包括了三位准确数和一位存疑数的有效数字。

1.3.2　有效数字位数的确定

在实验中，记录和计算时只记下有效数字，多记或少记都是错误的。而有效数字中保留的末尾一位存疑数字通常是根据测量仪器的最小分度值来估计的，反映了仪器实际能达到的精确度。显然，有效数字的位数与仪器的制造精度直接相关，记录的数据高于或低于仪器的精确度都是不正确的。在上述溶液温度的测量中，将测量温度记录为65.55℃是正确的有效数字记录方法，它表示该温度计的测量数据能精确到0.01℃，测量结果可能有±0.01℃的误差，溶液的实际温度应为65.55℃±0.01℃范围内的某一数值。如果将该温度计数据记录为65.5℃，则数据上反映出温度计的精确度或测量误差为±0.1℃，较实际测量中使用的温度计的精确度低。如果将该温度计数据记录为65.553℃，则数据上反映出温度计的精确度或测量误差为±0.001℃，较实际测量中使用的温度计的精确度高。因此，这两个记录数据都没有反映出该温度计的实际精确度。又如，某溶液的体积用最小刻度为1mL的量筒测量，溶液弯月面底部大约在12.6mL处，则该溶液的体积记录为12.6mL，其中，12是直接由量筒的刻度读出的，而0.6是由肉眼估计的，故该溶液体积用量筒测量时有效数字是3位。如果换用最小刻度为0.1mL的滴定管测量该溶液的体积，则溶液的弯月面底部可能在12.62mL处，则该溶液的体积应记录为12.62mL，其中，12.6是直接由量筒的刻度读出的，而0.02是由肉眼估计的，故该溶液体积用滴定管测量时有效数字是4位。

按照数字的精度也可决定选择合适的仪器，例如，取溶液2.00mL，要求使用刻度吸量管；取溶液2.0mL，用量筒即可；取溶液2mL，则可粗略估计，如用滴管直接滴取40滴左右等方法。若取溶液25.00mL，则必须用移液管或滴定管。

在有效数字的表示和位数计算中，应注意下面几点：

①实验中的测量数字和数学上的数字意义是不一样的。如数学上，5.28=5.280=5.2800。而对于实验中的测量数据，5.28≠5.280≠5.2800，因这三个数据的测量精确度不同。

②有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精确度有关。如同一物体的长度用不同最小分度尺的仪器测量时，仪器的最小分度尺越小，测量数据的有效数字位数越多。

③数字中所有非零数字（1～9）都是有效数字。如53有2位有效数字，16.2有3位有效数字，0.1560有4位有效数字。

④非零数字间的零都是有效数字。如201.83和131.05都有5位有效数字。

⑤当数字中有小数点时，第一个非零数字之后的零都是有效数字。如3.00有3位有效数字，20.10有4位有效数字，1.100有4位有效数字。

⑥第一个非零数字之前的零都不是有效数字，常起定位作用。如某溶液的体积以毫升作单位时为12.50mL，若用升作单位时为0.01250L，后者在数字1前的“0”只起定位作用，不是有效数字。因此，12.50mL和0.01250L的有效数字都是4位，即改变一个数字的单位，其有效数字位数不会改变。

⑦当数字中没有小数点时，末尾的零不一定是有效数字。如1200g，就无法确定其有效数字位数。为了准确地表达有效数字，需要使用科学计数法（scientific notation）。科学计数法将数字表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤│a│<10，n表示整数。如1200g可用科学计数法表示为1.2×10³g（2位有效数字），表示为1.20×10³g（3位有效数字），表示为1.200×10³g（4位有效数字）。对于过大或过小的数字常用科学计数法表示。

⑧当计算的数值为lg或pH、pK等对数时，其有效数字的位数仅取决于小数点后的位数，因为小数点前的整数部分只表示数量级，仅与其对应的真数中的10的方次有关。如pH=6.26有2位有效数字，因为该pH值是通过pH=-lg［H⁺］换算方法由［H⁺］=5.5×10^-7mol·L^-1计算得到的，其有效数字位数应该与氢离子浓度数值中的有效数字位数一致。

⑨实验中常遇到测定次数、系数、倍数、转换因子、常数等，这些数被视为确切数（exact number），不受有效数字位数的限制。如1in（英寸）=2.54cm，1min=60s中的2.54和60都不受有效数字位数的限制。也不考虑理想气体摩尔体积（约22.41410L·mol^-1）、圆周率π、e以及原子量等常数的有效数字位数。

1.3.3　有效数字的运算规则

（1）修约

当各测定值和计算值的有效数字位数确定后，对其后面多余的数字要进行取舍，这一过程称为修约（rounding）。修约通常按照“四舍六入五成双”的规则进行。

①当保留n位有效数字，若第n+1位数字≤4就舍掉。如5.428取2位有效数字时，结果为5.4。

②当保留n位有效数字，若第n+1位数字≥6时，则第n位数字进1。如5.428取3位有效数字时，结果为5.43。

③当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面数字为0时，修约方法为：

若第n位数字为偶数时舍掉后面的数字。如5.450取2位有效数字时，结果为5.4；

若第n位数字为奇数时将第n位数加1。如5.350取2位有效数字时，结果为5.4。

④当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n位数字是奇数还是偶数都加1。如5.4502取2位有效数字时，结果为5.5。5.3502取2位有效数字时，结果为5.4。

对于原始数据只能修约一次。例如，将6.5473修约为2位有效数字时，不能先将其修约为3位6.55，再修约为6.6，而只能一次修约为6.5。对于需要经过计算才能得出的结果应该先计算后修约。

（2）加减运算

在加减运算中，计算结果所保留的数字的小数点后的位数应与参加运算的各数字中小数点后位数最少的数相同，因为运算式中小数点后位数最少的数的绝对误差最大。例如，0.3652+0.54，和为0.9052，修约为0.91。

（3）乘除运算

在乘除运算中，计算结果所保留的有效数字的位数应与参加运算的各数字中有效数字位数最少的数相同，因为运算式中有效数字位数最少的数的相对误差最大。例如，0.3652×0.54×1.16，积为0.22876128，修约为0.23。