1.无穷

美国作家房龙在《人类的故事》中讲述了这样一个诗一般的故事——

在遥远的北方

有一个地方

那里矗立着一块巨石

巨石高100英里[1]、宽100英里、长100英里

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[1]　1英里约为1.6千米。

每隔1000年

便有一只小鸟飞来

在这巨石上磨喙

当石头被磨光的时候

对“永恒”来说

才似过了一天

—— —— ——漫话小知识—— —— ——

● 故事中的“永恒”与数学中的一个概念相关：无穷。

● 无穷或称无限，意指没有尽头、没有边界。

● 想一个尽量大的数：1000、1000万、1000亿……但再大都不够大，无穷大是大到“没有边”，比任何所能想到的确定的数都要大。

● 无穷大或无穷小，强调的不是确定的数，强调的是一种概念。

● 无穷的数学符号为“∞”，形似一条默比乌斯带，但无穷的概念出现得比数学家默比乌斯早很多。

● 默比乌斯带由19世纪德国数学家默比乌斯和利斯廷几乎同时独立发现，但默比乌斯带的图形在2世纪左右的罗马镶嵌画中就曾出现过。

● 数学家默比乌斯曾师从德国数学家高斯。

● 取一根纸带，将一端旋转180度，再将两端粘接，可得一条默比乌斯带。普通的环形纸带有两个面，而默比乌斯带只有一个面。

● 数学史上的第一次数学危机、第二次数学危机都与无穷有关。

● 第一次数学危机：起因是无理数。危机在于无理数不能用整数或整数的商表示。从小数角度看，无理数属于无限不循环小数。

● 第二次数学危机：起因是无穷小量。危机在于无穷小量这个“量”究竟是不是0——若是0会有问题，若不是0仍有问题。

● 第三次数学危机：起因是集合论中具有自我指涉性的集合悖论——罗素悖论。悖论，通常指经逻辑推理后总得出对立结论的一类命题。

● 罗素悖论常借“理发师悖论”来解释：理发师宣布“只给不给自己刮胡子的人刮胡子”,那么他该不该给自己刮胡子?

● 集合论由数学家康托尔创立。康托尔提出无穷与无穷也是有区别的，并给出了比较无穷集合的方法。比较所使用的基本法则：一一对应。

● 无穷集合的大小关系与直观感受到的大小关系并不一样。例如由正整数构成的无穷集合{1,2,3,4,…}与由正偶数构成的无穷集合{2,4,6,8,…}一样大。

● 无限循环小数0.999…是被这样理解的：小数点右边有很多个9，多到永远也写不完。

● 无限不循环小数比有限小数、无限循环小数多得多——无理数远多于有理数。

● 一棵向日葵的真实高度、一只小狗的真实体重，往往是一个无限不循环小数，是难以被准确地度量的。真实值无法度量却需要描述，便产生了近似值、准确度等概念。

● 中国哲学家庄子在《庄子·杂篇·天下》中记有：至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。一尺之棰，日取其半，万世不竭。这些描述都涉及无穷的思想。

● 英国诗人威廉·布莱克的诗句涉及过无限的概念：一粒沙里容世界，一朵花内见天堂，一掌之中纳无限，刹那之间存永恒……

● 瑞士数学家约翰·伯努利说：在无穷中领悟分分秒秒是多么快乐啊!从小小的数中感知到的浩瀚是多么神圣啊!

—— —— ——思考思考—— —— ——

怎样尝试理解1=0.999…？

【分析1】

假设1≠0.999…，则存在一个数 A,满足1>A>0.999…(两个不相等的数之间总存在其他数，例如两者的平均数)。

发现找不到满足1>A>0.999…的有限小数或无限小数A。

所以假设不成立。

即1=0.999…。

【分析2】

1÷3=0.333…，同时，那么。

或是。

即1=0.999…。

【分析3】

已知一个小数×10,其小数点向右移动一位。

令A=0.999…，

则10A=9.999…，

10A-A=9.999…-0.999…，

得9A=9，A=1，

即1=0.999…。