2.最不利原则

在《北欧神话》中有这样一则故事——

天地初创，诸神追随众神之神奥丁来到永不封冻的伊达沃特平原建设家园阿斯加德。

阿斯加德的建设耗尽诸神的精力，致使他们再无余力修建最后的围墙。

这时，一位霜巨人前来应聘，他自信能在3个冬天内修筑完高耸入云、绵延千里的围墙。条件是给他：爱神、太阳和月亮。

诸神认为霜巨人在开玩笑，所以反以戏弄——同意霜巨人的要求，但附加更苛刻的条件：在一个冬天内完工，且不可假借他人之手；若违约，霜巨人需要支付违约金——他的性命。

霜巨人仍然同意了。

工程的进度超出诸神的预测，秘诀在于霜巨人有匹工作效率极高的神驹。在合约期限的最后时刻，巍峨的围墙已将阿斯加德封闭式环绕，唯欠城门上的最后一块石头。

这时，一匹漂亮的小马欢快地跳跃到连续工作的神驹面前，吸引它玩耍、打闹，配合它追逐，带它消失在了远方。

最终，工程因“最后一块石头”没有完工。

霜巨人因此违约，不得不支付违约金：自己的性命。

—— —— ——漫话小知识—— —— ——

● 上述“最后一块石头”的问题与数学中的一个概念相关：最不利原则。

● 最不利原则，常称最倒霉原则、最差原则……指考虑最不利于一件事情成功发生的情况。

● 最不利可理解成“事情离成功仅差最后一步的状态”。以下是关于最不利的几个例子。

①霜巨人完成了绝大部分工作，离完工仅差最后一块石头。该工作状态即属于最不利状态。

②考60分可得到一件梦寐以求的礼物，结果考了59分。该状况即属于最不利状况。

③拿口袋里的一串钥匙开锁，结果试到最后一把才把锁打开。该选择即属于最不利选择。

● 最不利原则不是为了拦截一件事以阻止它成功发生。相反，它展示了“保证”一件事成功发生的底线：一件事如果在最不利的情况下成功发生了，那么在其他情况下也一定可以成功发生。

● 数学中与最不利原则密切相关的内容是抽屉原理，又称鸽巢原理、鸽笼原理、狄利克雷原理。

● 抽屉原理1:把n个苹果放进m个抽屉，若n>m,则至少有一个抽屉含有的苹果数大于或等于2。

● 抽屉原理2:把多于nm个的苹果放进m个抽屉，则至少有一个抽屉含有的苹果数大于或等于n+1。

● 抽屉原理由德国数学家狄利克雷提出。

● 狄利克雷曾师从高斯，在高斯去世后，他继任了高斯在德国哥廷根大学的教授席位。

● 狄利克雷去世后，数学家黎曼接替了他的教授席位。

● 一道小题：4个足球队互相比赛一场，胜者积3分，平局各积1分，败者积0分。若只有两个队可以出线，请问：保证出线的分数至少为多少分?

小题解答：构造最不利出线的情况，即第三名得分最高的情况——第三名得分与第一、二名得分一样，第四名得0分。此情况下第三名最高可得6分，故保证出线的分数至少为7分。

—— —— ——思考思考—— —— ——

不透光的口袋里装有：3个红球、4个蓝球、5个橙球、6个绿球。所有球的大小、重量、手感完全相同，仅颜色不同。要求：一次性地从口袋中摸出若干球。

问题1：至少从口袋中摸出几个球，可以保证一定摸到绿球?

问题2：至少从口袋中摸出几个球，可以保证一定摸到4种颜色的球?

问题3：至少从口袋中摸出几个球，可以保证一定有2个球的颜色是相同的?

【问题1】

【分析】最不利状态是摸出所有不是绿球的球：3个红球、4个蓝球、5个橙球。只需在此基础上多摸1个球即可。

【解答】至少需：(3+4+5)+1=13（个）。

【问题2】

【分析】最不利状态是摸出如下3种颜色的球：4个蓝球、5个橙球、6个绿球。只需在此基础上多摸1个球即可。

【解答】至少需：(4+5+6)+1=16（个）。

【问题3】

【分析】最不利状态是摸出4种颜色的球，且每种颜色的球各1个。只需在此基础上多摸1个球即可。

【解答】至少需：(1+1+1+1)+1=5（个）。